Resum Geometria i Programació lineal: Exemples trobar equació recta

4. Exemples trobar equació recta

Exemple 1 Equació general

Trobar la recta que passa pel punt $début de style de taille 14px P parenthèse gauche moins 1 virgule 2 parenthèse droite fin de style$ i té vector director $début de style de taille 14px v avec flèche vers la droite au-dessus parenthèse gauche 2 virgule moins 5 parenthèse droite fin de style$

Recordem: El vector director de la recta ax+by+c=0 és (-b,a)

o dit d'altra manera:

v.d. $début de style de taille 14px v avec flèche vers la droite au-dessus parenthèse gauche v indice 1 virgule v indice 2 parenthèse droite fin de style$ , l'equació general:

$v indice 2 x moins v indice 1 y plus c égal à 0$

Per tant, si el vector director és $début de style de taille 14px v avec flèche vers la droite au-dessus parenthèse gauche gras 2 virgule gras moins gras 5 parenthèse droite fin de style$ l'equació de la recta serà de la forma:

$gras moins gras 5 x gras moins gras 2 y plus c égal à 0$

I trobem c perquè la recta passi per $début de style de taille 14px P parenthèse gauche gras moins gras 1 virgule gras 2 parenthèse droite fin de style$ , que vol dir que ha de complir l'equació:

$moins 5 bold italic x moins 2 bold italic y plus c égal à 0 moins 5 fois parenthèse gauche gras moins gras 1 parenthèse droite moins 2 fois gras 2 plus c égal à 0 5 moins 4 plus c égal à 0 espace espace espace espace double flèche vers la droite espace 1 plus c égal à 0 espace espace double flèche vers la droite espace c égal à moins 1 espace$

Per tant l'equació de la recta és: $moins 5 x moins 2 y moins 1 égal à 0$

També podem posar tota l'equació canviada de signe:

$cadre englobant espace espace espace espace 5 x plus 2 y plus 1 égal à 0 espace espace espace espace espace fin$

Exemple 2 Equació contínua

Recordem: vector director $v avec flèche vers la droite au-dessus parenthèse gauche v indice 1 virgule v indice 2 parenthèse droite$ , punt $A parenthèse gauche a indice 1 virgule a indice 2 parenthèse droite$

Equació contínua:

$numérateur de la fraction x moins a indice 1 au-dessus du dénominateur v indice 1 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction début de style affichage y moins a indice 2 fin de style au-dessus du dénominateur début de style affichage v indice 2 fin de style fin de la fraction espace$

Per tant:

$numérateur de la fraction x moins parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction début de style affichage y moins 2 fin de style au-dessus du dénominateur début de style affichage moins 5 fin de style fin de la fraction espace espace espace espace espace espace double flèche vers la droite$ $cadre englobant numérateur de la fraction x plus 1 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction début de style affichage y moins 2 fin de style au-dessus du dénominateur début de style affichage moins 5 fin de style fin de la fraction espace fin$

Observació: d'aquesta equació podem passar fàcilment a l'equació general de l'exemple 1:

$numérateur de la fraction x plus 1 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction y moins 2 au-dessus du dénominateur moins 5 fin de la fraction moins 5 fois parenthèse gauche x plus 1 parenthèse droite égal à 2 fois parenthèse gauche y moins 2 parenthèse droite moins 5 x moins 5 égal à 2 y moins 4 moins 5 x moins 2 y moins 1 égal à 0 5 x plus 2 y plus 1 égal à 0$

Exemple 3 Equació explícita

Recordem: v.d. és $v avec flèche vers la droite au-dessus parenthèse gauche v indice 1 virgule v indice 2 parenthèse droite espace espace espace double flèche vers la droite espace pendent espace espace m égal à v indice 2 sur v indice 1$

Equació explícita:

$y égal à m x plus n$

Per tant, v.d $début de style de taille 14px v avec flèche vers la droite au-dessus parenthèse gauche 2 virgule moins 5 parenthèse droite espace espace double flèche vers la droite espace espace p e n d e n t espace m égal à numérateur de la fraction moins 5 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction fin de style$

L'equació implícita serà de la forma:

$y égal à numérateur de la fraction moins 5 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction x plus n$

Trobem la n sabent que el punt $début de style de taille 14px P parenthèse gauche gras moins gras 1 virgule gras 2 parenthèse droite fin de style$ és de la recta:

$bold italic y égal à numérateur de la fraction moins 5 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction bold italic x plus n gras 2 égal à numérateur de la fraction moins 5 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction fois parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite plus n espace espace espace espace espace espace double flèche vers la droite espace 2 égal à 5 sur 2 plus n espace espace espace double flèche vers la droite espace n égal à 2 moins 5 sur 2 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace n égal à moins 1 demi$

Per tant:

$cadre englobant y égal à numérateur de la fraction moins 5 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction x moins 1 demi fin$

Exemple 4

Trobar la recta que passa pel punt $début de style de taille 14px P parenthèse gauche 7 virgule moins 1 parenthèse droite fin de style$ i té pendent 5.

En aquest cas l'equació més pràctica serà l'explícita:

$y égal à m x plus n$

Com que directament ens donen la dada del pendent, m=5, tenim:

$y égal à 5 x plus n$

Passa pel punt $début de style de taille 14px P parenthèse gauche 7 virgule moins 1 parenthèse droite fin de style$

$début de style de taille 14px moins 1 égal à 5 fois 7 plus n moins n égal à 35 plus 1 n égal à moins 36 fin de style$

Equació de la recta: $cadre englobant y égal à 5 x moins 36 fin$

o també podem expressar l'equació general que, simplement, és igualant a zero:

$y égal à 5 x moins 36 cadre englobant espace espace moins 5 x plus y plus 36 égal à 0 espace espace fin$

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