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10. Problema d'optimització

10.1. Exemple 1

Una empresa fabrica ordinadors portàtils i de sobretaula i ven tots els que fabrica. L'empresa té capacitat per a fabricar 3000 ordinadors. Per qüestions de mercat, el nombre d'ordinadors de sobretaula no pot ser inferior a la meitat del nombre de portàtils, però tampoc pot superar el nombre de portàtils. L'empresa guanya 100 € per cada ordinador de sobretaula, i un 20% més en la venda de cada portàtil.

a) Escriu el sistema d'inequacions que satisfà les restriccions del problema.

Anomenarem x al nombre d'ordinadors de sobretaula, i y al de portàtils.

Restriccions:
- L'empresa té capacitat per a fabricar 3000 ordinadors   début de style de taille 14px double flèche vers la droite espace x plus y inférieur ou égal à 3000 fin de style
- El nombre d'ordinadors de sobretaula no pot ser inferior a la meitat del nombre de portàtils.   début de style de taille 14px double flèche vers la droite espace x supérieur ou égal à y sur 2 fin de style
- El nombre d'ordinadors no pot superar el nombre de portàtils.  début de style de taille 14px double flèche vers la droite espace x inférieur ou égal à y fin de style

Sistema d'inequacions:

                                          début de style de taille 14px accolade ouverte table ligne cellule gras x gras plus gras y gras inférieur ou égal à gras 3000 fin de cellule ligne cellule gras x gras supérieur ou égal à gras y sur gras 2 fin de cellule ligne cellule gras x gras inférieur ou égal à gras y fin de cellule ligne cellule gras x gras supérieur ou égal à gras 0 gras virgule gras espace gras y gras supérieur ou égal à gras 0 fin de cellule fin de table fin fin de style

b) dibuixa la regió factible i troba els seus vèrtex.

     Dibuixem les rectes

     début de style de taille 14px x plus y égal à 3000 espace espace espace espace flèche vers la droite espace espace p u n t s espace parenthèse gauche 300 virgule 0 parenthèse droite virgule espace parenthèse gauche 0 virgule 300 parenthèse droite fin de style  
     début de style de taille 14px x égal à y divisé par 2 espace espace espace flèche vers la droite espace espace espace p u n t s espace parenthèse gauche 0 virgule 0 parenthèse droite virgule espace espace parenthèse gauche 100 virgule 2000 parenthèse droite espace espace fin de style
     début de style de taille 14px x égal à y espace espace flèche vers la droite espace espace p u n t s espace parenthèse gauche 0 virgule 0 parenthèse droite virgule espace espace parenthèse gauche 1000 virgule 1000 parenthèse droite fin de style

Cadascuna d'aquestes rectes divideix al pla en dos semiplans. Hem de mirar quins semiplans compleixen les inequacions.

x plus y inférieur ou égal à 3000 espace espace espace espace espace Podem veure que el (0,0) compleix la inequació. Per tant és el semiplà on es troba el (0,0)

x supérieur ou égal à y sur 2 espace espace espace       En aquest cas com que el (0,0) és de la recta, agafem altre punt. Per exemple, el (1000,0).
                        Veiem que  début de style de taille 14px 1000 supérieur ou égal à 0 sur 2 fin de style  Per tant, és el semiplà on es troba el punt (1000,0)

x inférieur ou égal à y espace espace     Agafem, per exemple, el (1000,0).
                 Com que 1000 > 0, no compleix la inequació. El pla solució no és el pla on es troba el punt  (100,0)              

                         

En aquest cas la regió factible és l'interior d'aquest triangle.  Trobem els seus vèrtexs.

début de style de taille 14px accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule bold italic x gras plus bold italic y gras égal à gras 3000 fin de cellule ligne cellule bold italic x gras égal à gras y sur gras 2 gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace espace espace espace espace flèche vers la droite espace y égal à 2 x fin de cellule fin de tableau fin espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace x plus 2 x égal à 3000 espace flèche vers la droite espace 3 x égal à 3000 espace espace flèche vers la droite espace espace x égal à 1000 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace gras espace bold italic B gras parenthèse gauche gras 1000 gras virgule gras 2000 gras parenthèse droite espace espace espace fin de style

début de style de taille 14px accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule gras x gras plus gras y gras égal à gras 3000 fin de cellule ligne cellule gras x gras égal à gras y gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace fin de cellule fin de tableau fin espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace x plus x égal à 3000 espace flèche vers la droite espace 2 x égal à 3000 espace espace flèche vers la droite espace espace x égal à 1500 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace gras espace bold italic C gras parenthèse gauche gras 1500 gras virgule gras 1500 gras parenthèse droite gras espace gras espace espace fin de style

I l'altre vèrtex serà òbviament el bold italic D gras parenthèse gauche gras 0 gras virgule gras 0 gras parenthèse droite

c) Quants ordinadors de cada classe ha de fabricar per tal de maximitzar els seus beneficis?

    La funció objectiu és:    bold italic F gras parenthèse gauche bold italic x gras virgule bold italic y gras parenthèse droite gras égal à gras 100 bold italic x gras plus gras 120 bold italic y

    En aquest cas volem un màxim d'aquesta funció.

    Avaluem aquesta funció en cadascun dels vèrtexs:

   début de style de taille 14px F parenthèse gauche 1000 virgule 2000 parenthèse droite égal à 100 fois 1000 plus 120 fois 2000 égal à 100000 plus 240000 égal à gras 340000 F parenthèse gauche 1500 virgule 1500 parenthèse droite égal à 100 fois 1500 plus 120 fois 15000 égal à 150000 plus 180000 égal à 330000 F parenthèse gauche 0 virgule 0 parenthèse droite égal à 100 fois 0 plus 120 fois 0 égal à 0 fin de style

    Per tant el màxim benefici s'obté fabricant 1000 ordinadors portàtils i 2000 de sobretaula.

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