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5. Mix

Exercici:

Donada la funció : f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à e puissance x moins x moins 2

a) Demostrar que té una arrel (o zero) en l'interval [0,2]. Useu el Teorema de Bolzano

b) Calculeu els extrems relatius de la funció

Resolució:

a)

f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à e puissance x moins x moins 2

f parenthèse gauche 0 parenthèse droite égal à e puissance 0 moins 0 moins 2 égal à 1 moins 2 égal à moins 1

f parenthèse gauche 2 parenthèse droite égal à e au carré moins 2 moins 2 égal à e au carré moins 4 égal à 3.38

Com f(x) és una funció contínua en l'interval i pren signes contraris en els extrems de l'interval , seguint el Teorema de Bolzano, la funció té almenys una solució (arrel) dins de l'interval


b)

f espace apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite égal à e puissance x moins 1 f apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite espace égal à espace 0 e puissance x moins 1 égal à 0 double flèche vers la droite e puissance x égal à 1 double flèche vers la droite cadre englobant x égal à 0 fin

Per trobar els extrems relatius cal igualar a zero la derivada de la funció.

Hem resolt l'equació resultant i ara cal saber si correspon a una màxim o a un mínim

Estudiarem el signe de la derivada (creixement) en els següents intervals:



 parenthèse gauche moins infini virgule 0 parenthèse droite
 x=0 parenthèse gauche 0 virgule plus infini parenthèse droite
 f '
 f '(-1)=-0,63 derivada negativa
  f '(1) =1,71 derivada positiva
 f  decreix mínim, ja que a l'esquerra la funció
és decreixent i a la dreta és creixent
 creix
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