5. Mix

Exercici:

Donada la funció : f left parenthesis x right parenthesis equals e to the power of x minus x minus 2

a) Demostrar que té una arrel (o zero) en l'interval [0,2]. Useu el Teorema de Bolzano

b) Calculeu els extrems relatius de la funció

Resolució:

a)

f left parenthesis x right parenthesis equals e to the power of x minus x minus 2

f left parenthesis 0 right parenthesis equals e to the power of 0 minus 0 minus 2 equals 1 minus 2 equals negative 1

f left parenthesis 2 right parenthesis equals e squared minus 2 minus 2 equals e squared minus 4 equals 3.38

Com f(x) és una funció contínua en l'interval i pren signes contraris en els extrems de l'interval , seguint el Teorema de Bolzano, la funció té almenys una solució (arrel) dins de l'interval


b)

f space apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals e to the power of x minus 1
f apostrophe left parenthesis x right parenthesis space equals space 0
e to the power of x minus 1 equals 0 rightwards double arrow e to the power of x equals 1 rightwards double arrow box enclose x equals 0 end enclose

Per trobar els extrems relatius cal igualar a zero la derivada de la funció.

Hem resolt l'equació resultant i ara cal saber si correspon a una màxim o a un mínim

Estudiarem el signe de la derivada (creixement) en els següents intervals:



left parenthesis negative infinity comma 0 right parenthesis
 x=0 left parenthesis 0 comma plus infinity right parenthesis
 f '
f '(-1)=-0,63 derivada negativa
  f '(1) =1,71 derivada positiva
 f  decreix mínim, ja que a l'esquerra la funció
és decreixent i a la dreta és creixent
 creix