Activitats semestres anteriors: Curs 16/17 sem 1

2. Curs 16/17 sem 1

Exercici 1. (4 punts)

El creixement d'una població d'aus segueix la funció: $P (t) = P_{0} \cdot 3^{\frac{t}{2}}$ on P(t) és la població d'aus, existent cada any "t" i P₀ és la població a l'inici del procés.

Suposem que la població inicial és de 50 aus.

a) Calculeu P(5) i expliqueu el significat de P(5)

b) Calculeu P(10) i expliqueu el significat de P(10)

c) Calculeu i expliqueu el significat de la taxa de variació mitjana de la funció P(t) entre 5 anys i 10 anys

d) Quant temps ha de passar per obtenir una població de 1000 aus?

Arrodoniu cada resposta a un nombre enter (sense xifres decimals).

--------------------------------------------

Exercici 2. (3 punts)

Considerem la funció : $f (x) = \frac{10 - x^{2}}{x - 1}$

Trobeu l'equació de la recta tangent en el punt x=2

--------------------------------------------

Exercici 3. (3 punts)

Calculeu els valors de a i b per tal que la funció f(x) sigui derivable a tot arreu

$f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 1 & s i x < 1 \\ a x + b & s i x \geq 1 \end{cases}$

Escriviu la funció f '(x) en aquest cas

Exercici 1

Solució:

$P (t) = P_{0} \cdot 3^{t} = 50 \cdot 3^{t}$

a) $P (5) = 50 \cdot 3^{\frac{5}{2}} = 779 a u s (a r r o d o n i t i d e i x a r e l r e s u l t a t s e n s e x i f r e s d e c i m a l s)$

Significa que passats 5 anys la població ha passat de 50 aus a 779 aus

b) $P (10) = 50 \cdot 3^{\frac{10}{2}} = 12150 a u s$

Significa que passats 10 anys la població de les aus serà de 12150 aus, previsiblement

c) Volem calcular la taxa de variació mitjana entre els valors t = 5 i t =10

$T V M_{[5, 10]} = \frac{P (10) - P (5)}{10 - 5} = \frac{12150 - 779}{5} = 15, 59 a u s / a n y \approx 16 a u s / a n y$

Significa que aquesta és la velocitat mitjana de creixement de la població d'aus. És a a dir va augmentant a una mitjana de 16 aus per any.

d) Quant de temps ha de passar per obtenir una p0blació de 10000 aus?

Hem de plantejar l'equació següent:

$P (t) = 50 \cdot 3^{\frac{t}{2}} 10000 = 50 \cdot 3^{\frac{t}{2}} \frac{10000}{50} = 3^{\frac{t}{2}} 200 = 3^{\frac{t}{2}} E s r e s o l a q u e s t a e q u a c i ó e x p o n e n c i a l o b é p r o v a n t a m b l a c a l c u l a d o r a o b é u s a n t \log a r i t m e s \ln (200) = l n (3^{\frac{t}{2}}) \ln (200) = \frac{t}{2} l n (3) \frac{\ln (200)}{\ln (3)} = \frac{t}{2} \Rightarrow t = \frac{2 \cdot \ln (200)}{\ln (3)} = 9, 6 a n y s \Rightarrow 10 a n y s a p r o x .$

Exercici 2

- Pas 1. Cal conèixer les coordenades del punt A = ( a , f ( a ) ) , punt de la corba on es vol trobar la recta tangent x = 2
- $f (2) = \frac{10 - 2^{2}}{2 - 1} = \frac{6}{1} = 6$
- Per tant el punt A=(2,6)
  Pas 2 . Calcular f ' ( x ) derivada de la funció f ( x )
- $f' (x) = \frac{(- 2 x) \cdot (x - 1) - (10 - x^{2}) \cdot 1}{(x - 1)^{2}} = \frac{(- 2 x^{2} + 2 x) - (10 - x^{2})}{(x - 1)^{2}} = \frac{- x^{2} + 2 x - 10}{(x - 1)^{2}}$
- Pas 3. Calcular $f' (a)$ que consisteix en substituir x=2 en la funció derivada:
- $f' (2) = \frac{- (2)^{2} + 2 (2) - 10}{(2 - 1)^{2}} = \frac{- 10}{1} = - 10$
- Pas 4. Escriure l'equació de la recta: $y - f (a) = f' (a) (x - a)$
$y - f (2) = f' (2) \cdot (x - 2) y - 6 = - 10 \cdot (x - 2) y = - 10 x + 26 é s l' e q u a c i ó d e l a r e c t a \tan g e n t e n e l p u n t (2, 6)$

Exercici 3

Per què la funció f(x) sigui derivable ha de ser contínua i per tant s'ha de complir que $\underset{x \to 1^{-}}{l i m} f (x) = \underset{x \to 1^{+}}{l i m} f (x) = f (1)$

$\underset{x \to 1^{-}}{l i m} f (x) = \underset{x \to 1^{-}}{l i m} x^{2} - 1 = (1)^{2} - (1) = 0 \underset{x \to 1^{+}}{l i m} f (x) = \underset{x \to 1^{+}}{l i m} a x + b = a \cdot (1) + b = a + b f (1) = a \cdot (1) + b = a + b$

Aquest tres valors han de coincidir : $a + b = 0$

Per què la funció sigui derivable, les derivades laterals en el punt x=1 han d'existir i han de ser iguals:

$f' (x) = 2 x p e r l' e s q u e r r a d e x = 1 \Rightarrow f' (1) = 2 f' (x) = a p e r l a d r e t a d e x = 1 \Rightarrow f' (1) = a$

Aquest dos valors han de coincidir: $a = 2$

Ajuntant les dues equacions obtingudes queda : $a = 2 i b = - 2$

I la funció derivada serà :

$f' (x) = \{\begin{cases} 2 x s i x < 1 \\ 2 s i x \geq 1 \end{cases}$

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

2. Curs 16/17 sem 1