R3.1. Successions numèriques

Una successió és un conjunt de nombres ordenats.

Fixem-nos que la definició és molt simple, qualsevol conjunt de nombres que estigui ordenat ja ho és. Nosaltres ens centrarem però en aquelles que segueixin una certa lògica i que, per tant, ens sigui relativament fàcil poder seguir la successió.

Vegem-ne uns quants exemples:

• a_n = {2, 5, 8, 11, 14...}
• b_n = {3, 6, 12, 24, 48...}
• c_n = {1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16...}
• d_n = {10, 4, -2, -8, -14...}
• e_n = {10, 1, 0'1, 0'01, 0'001...}
  
• f_n = {1, 1, 2, 3, 5, 8...}

Segur que saps trobar els tres nombres següents de cadascuna d'aquestes successions. Fixa't que cadascuna segueix una lògica per anar avançant en la seqüència de nombres. Més endavant veurem aquesta lògica i en deduirem expressions per poder calcular qualsevol nombre de la successió. De fet, posem els punts suspensius al final de cada successió per indicar que podem seguir calculant-ne valors pràcticament fins a l'infinit.

Imatge de Borb amb drets CC BY-SA 3.0 extreta de Wikimedia

Cada successió s'identifica amb una lletra (generalment lletres minúscules) i amb el subíndex n que ens indica el lloc dins de la successió. Així tenim a_n per la primera, b_n per la segona... Cadascun dels nombres de la successió s'anomena terme i ocupa un lloc concret en la successió. Així:

a₃ = 8 que vol dir que el terme que està en el lloc 3 de la successió a_n val 8.

b₅ = 48 perquè el terme que està en el lloc 5 de la successió b_n val 48.

d₂ = 4 el terme que està en el lloc 2 de la successió d_n val 4.

Pensem ara que ens cal trobar el terme que està en el lloc 100 de la successió a_n. Si hem de calcular tots els 100 termes fins a arribar a aquest, és una forma no gaire eficient. En canvi, si tenim una expressió matemàtica que a partir de n=100 ens permet calcular directament el terme del lloc 100 serà molt ràpid. Aquesta expressió matemàtica s'anomena terme general de la successió.

En el cas d'a_n el terme general, com veurem en la següent pàgina, és: a_n = 3·n - 1. Ara, ja podem calcular a₁₀₀ = 3·100-1 = 299.

Per a b_n el terme general és (ho veurem en la pàgina tercera): b_n = 3·2^n-1. Llavors, podem calcular b₂₀ = 3·2^20-1 = 3·2¹⁹ = 1.572.864.

Activitat Sobre aquests continguts podeu fer l'activitat A3.1. Preguntes sobre successions.

Podem representar gràficament les successions per tenir-ne una visió més clara del seu comportament amb una gràfica cartesiana en dos eixos. En l'eix horitzontal (abscisses) hi posarem la n (lloc) i en l'eix vertical (ordenades) els termes (valors).

En la gràfica de l'esquerra hem representat els exemples a_n, b_n i f_n anteriors.

Una successió és creixent quan cada terme és més gran o igual que l'anterior. És estrictament creixent quan cada terme és més gran que l'anterior. De forma equivalent, podem definir decreixent i estrictament decreixent.

De les successions representades veiem que les 3 són creixents però que e_n no és estrictament creixent donat que els seus dos primers termes són iguals (podem clicar la imatge per ampliar).

Imatge de Jaume Bartolí Guillemat sota llicència CC BY-NC-SA 3.0

Activitat Sobre aquests continguts, podeu fer l'activitat A3.2. Representació gràfica de successions.

L'últim exemple de successions que hem posat a dalt f_n = {1, 1, 2, 3, 5, 8...} és un cas especial anomenat successió de Fibonacci (Leonardo de Pisa).

El funcionament d'aquesta successió és que, llevat dels dos primers que són 1, cada terme s'obté sumant els dos anteriors. Aquesta forma d'avançar se'n diu per recurrència. Si ho volem descriure amb una fórmula, seria:

$f_n=\left\{ \begin{aligned} 1, \quad si \quad n=1, 2\\ f_{n-1}+f_{n-2}, si \quad n>2 \end{aligned} \right.$.

La successió de Fibonacci té unes característiques que la fan molt especial i present en moltes situacions de la natura. Si en vols més informació pots consultar aquests enllaços:

• Successió de Fibonacci a la Viquipèdia (català).
• Sucesión de Fibonacci en la Wikipedia (castellà).

La sucesión de Fibonacci y la razón áurea de Derivando