R3.1. Successions numèriques

Una successió és un conjunt de nombres ordenats.

Fixem-nos que la definició és molt simple, qualsevol conjunt de nombres que estigui ordenat ja ho és. Nosaltres ens centrarem però en aquelles que segueixin una certa lògica i que, per tant, ens sigui relativament fàcil poder seguir la successió.

Vegem-ne uns quants exemples:

• a_n = {2, 5, 8, 11, 14...}
• b_n = {3, 6, 12, 24, 48...}
• c_n = {1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16...}
• d_n = {10, 4, -2, -8, -14...}
• e_n = {10, 1, 0'1, 0'01, 0'001...}
  
• f_n = {1, 1, 2, 3, 5, 8...}

Segur que saps trobar els tres nombres següents de cadascuna d'aquestes successions. Fixa't que cadascuna segueix una lògica per anar avançant en la seqüència de nombres. Més endavant veurem aquesta lògica i en deduirem expressions per poder calcular qualsevol nombre de la successió. De fet, posem els punts suspensius al final de cada successió per indicar que podem seguir calculant-ne valors pràcticament fins a l'infinit.

Imatge de Borb amb drets CC BY-SA 3.0 extreta de Wikimedia

Cada successió s'identifica amb una lletra (generalment lletres minúscules) i amb el subíndex n que ens indica el lloc dins de la successió. Així tenim a_n per la primera, b_n per la segona... Cadascun dels nombres de la successió s'anomena terme i ocupa un lloc concret en la successió. Així:

a₃ = 8 que vol dir que el terme que està en el lloc 3 de la successió a_n val 8.

b₅ = 48 perquè el terme que està en el lloc 5 de la successió b_n val 48.

d₂ = 4 el terme que està en el lloc 2 de la successió d_n val 4.

Pensem ara que ens cal trobar el terme que està en el lloc 100 de la successió a_n. Si hem de calcular tots els 100 termes fins a arribar a aquest, és una forma no gaire eficient. En canvi, si tenim una expressió matemàtica que a partir de n=100 ens permet calcular directament el terme del lloc 100 serà molt ràpid. Aquesta expressió matemàtica s'anomena terme general de la successió.

En el cas d'a_n el terme general, com veurem en la següent pàgina, és: a_n = 3·n - 1. Ara, ja podem calcular a₁₀₀ = 3·100-1 = 299.

Per a b_n el terme general és (ho veurem en la pàgina tercera): b_n = 3·2^n-1. Llavors, podem calcular b₂₀ = 3·2^20-1 = 3·2¹⁹ = 1.572.864.

Activitat Sobre aquests continguts podeu fer l'activitat A3.1. Preguntes sobre successions.

Podem representar gràficament les successions per tenir-ne una visió més clara del seu comportament amb una gràfica cartesiana en dos eixos. En l'eix horitzontal (abscisses) hi posarem la n (lloc) i en l'eix vertical (ordenades) els termes (valors).

En la gràfica de l'esquerra hem representat els exemples a_n, b_n i f_n anteriors.

Una successió és creixent quan cada terme és més gran o igual que l'anterior. És estrictament creixent quan cada terme és més gran que l'anterior. De forma equivalent, podem definir decreixent i estrictament decreixent.

De les successions representades veiem que les 3 són creixents però que e_n no és estrictament creixent donat que els seus dos primers termes són iguals (podem clicar la imatge per ampliar).

Imatge de Jaume Bartolí Guillemat sota llicència CC BY-NC-SA 3.0

Activitat Sobre aquests continguts, podeu fer l'activitat A3.2. Representació gràfica de successions.

L'últim exemple de successions que hem posat a dalt f_n = {1, 1, 2, 3, 5, 8...} és un cas especial anomenat successió de Fibonacci (Leonardo de Pisa).

El funcionament d'aquesta successió és que, llevat dels dos primers que són 1, cada terme s'obté sumant els dos anteriors. Aquesta forma d'avançar se'n diu per recurrència. Si ho volem descriure amb una fórmula, seria:

$f_n=\left\{ \begin{aligned} 1, \quad si \quad n=1, 2\\ f_{n-1}+f_{n-2}, si \quad n>2 \end{aligned} \right.$.

La successió de Fibonacci té unes característiques que la fan molt especial i present en moltes situacions de la natura. Si en vols més informació pots consultar aquests enllaços:

• Successió de Fibonacci a la Viquipèdia (català).
• Sucesión de Fibonacci en la Wikipedia (castellà).

La sucesión de Fibonacci y la razón áurea de Derivando

Una Progressió Aritmètica (PA) és una successió en què cada terme s'obté a partir de l'anterior sumant-li una quantitat fixa anomenada diferència (d).

Exemples, seguint de la pàgina anterior:

• a_n = {2, 5, 8, 11, 14...}
• d_n = {10, 4, -2, -8, -14...}

De cadascuna d'elles els valors més importants són el primer terme i la diferència:

a₁=2 i d=3

d₁=10 i d=-6.

Imatge de Jaume Bartolí Guillemat sota llicència CC BY-NC-SA 3.0

Per calcular el terme 10 d'una PA a partir del primer terme cal afegir 9 cops la diferència. Si volem calcular el terme 20, caldrà afegir 19 cops la d. En general, si hem de calcular el terme n, haurem d'afegir (n-1) cops la d a l'a₁.

D'aquesta forma podem veure que la fórmula per al terme general d'una PA és:

a_n = a₁ + d·(n-1)

Amb els exemples anteriors:

a_n = 2 + 3·(n-1) = 2+3·n-3 = 3n - 1 (com havíem vist en la pàgina anterior).

d_n = 10 - 6·(n-1) = 10 -6·n + 6 = -6n + 16.

Ens interessa sumar uns quants termes (no pocs) d'una PA. No ho farem sumant-los directament sinó que provarem de deduir una expressió que m'ho permeti calcular ràpidament.

Suposem que volem sumar aquests 5 termes només d'aquesta PA: a_n = {2, 4, 6, 8, 10}.

O sigui, volem:          Sn = 2 + 4 + 6 + 8 + 10

Ho escrivim al revés: Sn = 10 + 8 + 6 + 4 + 2

Ara sumem parelles verticalment i veiem que totes donen el mateix: 2+10=12; 4+8=12; 6+6=12.

Per tant, si sumem les dues expressions, tindrem:

2·Sn = 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 12 · 5, o equivalentment: 2·Sn = (2+10)·5. Si aïllem la suma: $S_n = \dfrac{\left(2+10\right)·5}{2}$.

Ens fixem que el 2 del numerador és el primer terme, 10 és l'últim terme i 5 el nombre de termes sumats. Per tant, l'expressió general serà:

$S_n = \dfrac{\left(a_1+a_n\right)·n}{2}$

Exemples. Sumem els 100 primers termes de les PA anteriors (primer cal calcular el terme a₁₀₀):

 a_n → a₁₀₀ = 3·100-1=299 → $S_{100} = \dfrac{\left(2+299\right)·100}{2}=15.050$

 d_n → d₁₀₀ = -6·100+16=-584 → $S_{100} = \dfrac{\left(10-584\right)·100}{2}=-28.700$

En aquest vídeo es representa la història sobre com Carl F. Gauss, sent un nen, va descobrir com sumar una PA:

Fragment de la pel·lícula "Midiendo el mundo" de Detlev Buck

Activitat Sobre aquests continguts podeu fer l'activitat A3.3. Exercicis Progressions Aritmètiques.

Una Progressió Geomètrica (PG) és una successió en què cada terme s'obté a partir de l'anterior multiplicant-lo per una quantitat fixa anomenada raó (r).

Exemples, seguint de la pàgina primera:

• b_n = {3, 6, 12, 24, 48...}
• c_n = {1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16...}

De cadascuna d'elles els valors més importants, també, són el primer terme i la raó:

b₁=3 i r=2,

c₁=1 i r=1/2.

Imatge de Jaume Bartolí Guillemat sota llicència CC BY-NC-SA 3.0

Per calcular el terme 10 d'una PG a partir del primer terme cal multiplicar aquest terme 9 cops per la diferència. Raonant de forma similar, si hem de calcular el terme n, haurem de multiplicar a₁ (n-1) cops per r.

Per tant, la fórmula per al terme general d'una PG és:

a_n = a₁ · r^n-1

Amb els exemples anteriors:

b_n = 3 · 2^n-1 (recordem que no podem multiplicar 3·2 perquè els exponents són diferents).

$c_n=1· \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{n-1} = \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{n-1}$.

Volem deduir una expressió per calcular la suma d'uns quants termes d'una PG. Anem a fer uns quants passos per trobar-la.

La suma que volem trobar és:

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ +...+_an-1 + a_n

Si multipliquem els dos membres de l'expressió per la raó:

S_n ·r = a₁·r + a₂·r+ a₃·r + a₄·r + a₅·r +...+_an-1·r + a_n·r

Restem, ara, les dues expressions. Podrem simplificar molts factors donat que a₂ = a₁ ·r i, així, successivament:

S_n - S_n·r = a₁ - a_n·r

Aïllant S_n trobem l'expressió final:

$S_n = \dfrac{a_1-a_n·r}{1-r}$

O, com a_n = a₁·r^n-1 poden posar (aïllant a₁):

$S_n = \dfrac{a_1\left(1-r^n\right)}{1-r}$

Exemples, calculem la suma dels 10 primers termes en les successions anteriors:

b_n → $S_{10} = \dfrac{3\left(1-2^{10}\right)}{1-2} = \frac{3·(-1023)}{-1} = 3.069$

c_n → $S_{10} = \dfrac{1\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\right)}{1-\left(\frac{1}{2}\right)} = \frac{\left(\frac{1023}{1024}\right)}{\left(\frac{1}{2}\right)} = \dfrac{1023}{512}= 1,998046875.$

En el cas de la PG c_n anterior els termes són cada cop més petits, més propers a zero. En aquest cas (de fet sempre que la raó verifica que -1<r<1) podem sumar tots els infinits termes de la PG.

A partir de l'expressió de la suma deduïda abans, com la raó és més petita que 1 el factor rⁿ serà pràcticament zero (zero si prenem els infinits termes) i, per tant, tenim la següent expressió per sumar els infinits termes:

$S_ \infty = \dfrac{a_1}{1-r}, \quad amb -1$

Exemple c_n anterior:

 c_n → $S_ \infty = \dfrac{1}{1-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\frac{1}{2}}=2$.

Gràficament podem imaginar aquesta suma com sumar les àrees de rectangles cada cop més petits i cada rectangle que sigui la meitat de l'anterior com es mostra en aquest dibuix. El primer rectangle és c₁ i la seva àrea és 1 (les unitats que corresponguin), el segon rectangle la meitat i així els següents.

Al final, si posem els infinits rectangles, haurem omplert un rectangle gran d'àrea 2.

Imatge de Jaume Bartolí Guillemat sota llicència CC BY-NC-SA 3.0

Activitat Sobre aquests continguts podeu fer l'activitat A3.4. Exercicis Progressions Geomètriques.

En dipositar uns diners al banc, aquest ens dóna uns guanys o interessos. Així, per exemple, si posem un capital (C) en un compte bancari durant un nombre d'anys (t) el banc dóna un rèdit (r) expressat en percentatge. Llavors, el primer any obtindrem uns interessos (I) que seran $\dfrac{C·r}{100}$ . Com que els interessos no són productius, és a dir, no s'acumulen al capital, al segon any obtindrem els mateixos interessos, i igual la resta d'anys. Per tant, l'interès total obtingut el podem trobar amb l'expressió:

$I=\dfrac{C·r·t}{100}$.

Exemple: trobar quin interès obtenim dipositant un capital C=2.000 € durant cinc anys en un compte bancari que ens dóna un rèdit del 3%.

$I=\dfrac{C·r·t}{100}=\dfrac{2000·3·5}{100}=300 €$

Quina relació té l'interès simple amb les successions? L'interès simple és una PA. Podem considerar que el primer terme és el capital inicial, al qual afegim l'interès que guanyem cada any. Així, en l'exemple anterior, cada any el guany és $d=I_1=\dfrac{2000·3·1}{100}=60 €$. Aquesta és la diferència de la PA. Llavors, la PA de capitals anuals és:

C_n = {2.000, 2.060, 2.120, 2.180, 2.240, 2.300, 2.360, 2.420...} → $C_n=2000 +\dfrac{C·r}{100}·(n-1)$ (Compte que ara aquí n no és exactament el nombre d'anys sinó el lloc en la PA).

Imatge extreta de Piqsels amb llicència lliure per a ús personal i comercial.

A diferència de l'interès simple en l'interès compost els guanys o interessos sí que s'acumulen al capital i, per tant, són part d'aquest i productius per al següent any. D'aquesta forma si seguim l'exemple anterior al llarg dels 5 anys però ara amb interès compost tindrem (arrodonint en cada cas als cèntims):

Exemple interès compost

t (any)	Capital inicial	Interessos	Capital final
1	2.000 €	60 €	2.060 €
2	2.060	61,8	2.121,8 €
3	2.121,8	63,65	2.185,45 €
4	2.185,45	65,56	2.251,10 €
5	2.251,10	67,53	2.318,63 €

Fixem-nos que el benefici final és superior (18,63 € més en aquest cas) que en l'interès simple perquè el capital, cada any, es va incrementant.

Per deduir una expressió que ens permeti calcular el capital final (C_f) a partir del capital inicial (C_i), els anys (t), l'interès (i) que ens dóna el banc en percentatge (abans en dèiem rèdit, ara interès), podem veure que en la taula anterior cada any multipliquem el capital que tenim pel mateix factor i/100 (és un percentatge) i, aquest resultat l'afegim al capital. Això és multiplicar el capital pel factor $\left(1+\dfrac{i}{100}\right)$. I això ho hem de fer cada any, per tant, tindrem:

$C_f=C_i·\left(1+\dfrac{i}{100}\right)^t$

Com a exemple, podeu calcular el C_f d'aquesta taula aplicant aquesta expressió.

Si ens fixem, l'interès compost és una PG en la qual la raó $r= \left(1+\dfrac{i}{100}\right)$, el primer terme és C_i i la successió s'anomena C_n. En l'exemple que tenim:

C_n = {2.000, 2.060, 2.121'8, 2.185'45, 2.251'10, 2.318'63...} → $C_n=2000·\left(1+\dfrac{3}{100}\right)^{n-1}$ (Compte que ara aquí n no és exactament el nombre d'anys sinó el lloc en la PG).

Activitat Les activitats sobre aquests continguts estan en les diferents activitats finals del tema.

En les pàgines anteriors del llibre hem parlat de forma molt superficial del concepte d'infinit. Hem dit que les successions poden tenir infinits termes o que podem sumar, en el cas de certes PG, tots els infinits termes de la successió.

Cal, per tant, concretat millor què entenem per infinit.

L'infinit, de fet, no és un nombre en si (tot i que, a vegades, en parlem com si ho fos). És un concepte matemàtic per indicar una expressió que és més gran que qualsevol nombre que ens puguem plantejar o imaginar. Des del punt de vista matemàtic parlem de l'infinit com una tendència quan una successió o altra expressió matemàtica creixen de forma continuada, cada cop més, sense que puguem establir una fita que no superi. Per treballar amb l'infinit s'introdueix el concepte de límit que treballarem en cursos superiors.

Representem l'infinit amb el símbol ∞.

Pots ampliar aquesta informació visitant la pàgina de la Viquipèdia.

També pots mirar aquest vídeo sobre un hotel amb infinites habitacions on sempre trobarem una habitació lliure.

El Hotel Infinito de QuantumFracture.