R1.1. Els nombres Racionals

A vegades ens trobem en situacions que cal que dividim un objecte en diverses parts, n'haurem de fer la meitat, la tercera part, una dècima part,... Per tant, estem fraccionant la unitat i, a més, podem agafar-ne més d'una de les parts.

Llavors, tenim el concepte de fracció. Exemples de fraccions són: una meitat: $\dfrac{1}{2}$, dos terços: $\dfrac{2}{3}$, tres dècimes: $\dfrac{3}{10}$,...

En la imatge^[1], en taronja un quart $\dfrac{1}{4}$ i en verd tres quarts $\dfrac{3}{4}$.

En general, en una fracció anomenem els dos nombres com segueix: $\dfrac{numerador}{denominador}$.

Si el numerador és més petit que el denominador, com en els exemples anteriors, diem que la fracció és pròpia. En cas contrari diem que és impròpia i, llavors, necessitem més d'una unitat.

Exemple de fracció impròpia és: $\dfrac{7}{4}$ = $\dfrac{4}{4}$ + $\dfrac{3}{4}$ = 1 + $\dfrac{3}{4}$, necessitem dos quadrats per poder-la representar seguint aquesta imatge^[2].

La fracció impròpia la podem escriure també en format de nombre mixt com: 1 $\dfrac{3}{4}$.

Equivalentment: $\dfrac{17}{3}$ = 5 + $\dfrac{2}{3}$ = 5 $\dfrac{2}{3}$

¹ Autor: canuoislupusarctos sota llicència Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported

² Imatge de Jaume Bartolí Guillemat sota llicència CC BY-NC-SA 3.0

Si numerador i denominador d'una fracció es poden dividir per un mateix nombre podem simplificar la fracció, convertint-la en una fracció equivalent, i el seu valor no canvia. 

Diem que dues fraccions són equivalents si una s'obté per simplificació de l'altra o, equivalentment, $\dfrac{a}{b}$ i $\dfrac{c}{d}$ són equivalents si a · d = b · c.

El procés de simplificació pot seguir fins que arribem a la fracció irreductible, la qual ja no es pot simplificar més.

Exemple: $\dfrac{30}{42}$ = $\dfrac{15}{21}$ = $\dfrac{5}{7}$. En el primer pas hem dividit numerador i denominador per 2 i en el segon per 3. La fracció irreductible és $\dfrac{5}{7}$.

Podem considerar una fracció com un operador quan actua sobre un altre nombre. Fixem-nos amb l'exemple:

Quants minuts són els $\dfrac{3}{4}$ d'una hora?

$\dfrac{3}{4}$ de 60 minuts = $\dfrac{3 · 60}{4}$ = 45 minuts.

Veiem que el numerador multiplica el nombre i el denominador divideix al resultat anterior.

En general, comparar dues fraccions no és immediat. Si les dues fraccions tenen igual denominador, llavors només cal comparar els numeradors per poder dir quina és més gran. Per exemple: $\dfrac{5}{7}$ > $\dfrac{3}{7}$.

Però si els denominadors són diferents cal trobar fraccions equivalents a les inicials que tinguin el mateix denominador i, llavors, ja les podrem comparar. Per exemple: $\dfrac{5}{6}$ i $\dfrac{4}{5}$ les transformem en $\dfrac{25}{30}$ i $\dfrac{24}{30}$; ara ja les podem comparar $\dfrac{25}{30}$ > $\dfrac{24}{30}$, per tant $\dfrac{5}{6}$ > $\dfrac{4}{5}$.

Com que podem comparar les fraccions també les podem ordenar de més petita a més gran.

Per representar una fracció sobre la recta cal fer tantes divisions entre cada dues unitats de la recta com ens diu el denominador, i la fracció estarà en la divisió apropiada començant a comptar des del zero.

Fracció pròpia $\dfrac{2}{5}$:

Fracció impròpia $\dfrac{8}{5}$: 

Imatges de Jaume Bartolí Guillemat sota llicència CC BY-NC-SA 3.0

Fins ara teníem el conjunt dels nombres Naturals $\mathbb{N}$ que en serveixen per comptar objectes. Si els hi afegim els negatius tenim el conjunt dels Enters $\mathbb{Z}$ amb totes les possibilitats que ens ofereixen.

Ara, als Enters els hi afegim les fraccions. Això ens dona un conjunt nou anomenat el conjunt dels nombres Racionals $\mathbb{Q}$ que inclou els enters i les fraccions.

$\left. \begin{aligned} \left. \begin{aligned} Naturals\\ Negatius \end{aligned} \right\} Enters \\ Fraccions \end{aligned} \right\} Racionals$

Però els nombres Racionals no exhaureixen tots els nombres decimals que existeixen. Per exemple, el nombre π, les arrels no exactes $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$,... no es poden expressar com fraccions.

I encara n'hi ha més de nombres com aquests 1,23456789101112.....; 1,101001000100001.... O d'altres que pots construir.

Tots aquests nombres que no es poden expressar com una fracció s'anomenen Nombres Irracionals.

Si unim els nombres Racionals i els Irracionals tenim un conjunt nou anomenat Nombres Reals. Aquest ja engloba tots els nombres.

$\left. \begin{aligned} Racionals\\ Irracionals \end{aligned} \right\} Reals$

Activitat Sobre aquests continguts podeu fer les activitats A1.1. Conceptes de fraccions i A1.2. Fraccions sobre la recta.