R1.1. Els nombres Racionals

Sumar o restar fraccions que tenen el mateix denominador és senzill, només cal sumar o restar els numeradors. Per exemple:

$\dfrac{4}{3}$ + $\dfrac{5}{3}$ - $\dfrac{2}{3}$ = $\dfrac{7}{3}$

Si tenen denominadors diferents cal, primer, convertir-les en les seves fraccions equivalents de forma que totes tinguin el mateix denominador comú. Per tant, trobem el mcm dels denominadors que serà el nou denominador:

$\dfrac{3}{4}$ + $\dfrac{5}{6}$ - $\dfrac{2}{3}$

en aquest cas mcm (denominadors) = 12. Llavors, transformem cada fracció en la seva equivalent amb denominador 12 dividint 12 entre el denominador actual i multiplicant pel numerador. Així:

$\dfrac{9}{12}$ + $\dfrac{10}{12}$ - $\dfrac{8}{12}$ = $\dfrac{11}{12}$

En cas que el resultat es pugui simplificar així ho farem trobant la fracció irreductible.

Veiem un vídeo explicatiu:

Vídeo d'Antoni Tornero Cobos. Disponible en aquest canal.

---

Una forma equivalent de sumar i restar fraccions sense fer servir el mcm és operant les fraccions de dos en dos i multiplicant cada fracció pel denominador de l'altra fracció. Vegem-ho:

$\dfrac{3}{4}$ + $\dfrac{5}{6}$ - $\dfrac{2}{3}$

Multipliquem la primera fracció per 6 i la segona per 4:

$\dfrac{3·6}{4·6}$ + $\dfrac{5·4}{6·4}$ - $\dfrac{2}{3}$ = $\dfrac{18}{24}$ + $\dfrac{20}{24}$ - $\dfrac{2}{3}$

Llavors:

$\dfrac{38}{24}$ - $\dfrac{2}{3}$

Simplifiquem:

$\dfrac{19}{12}$ - $\dfrac{2}{3}$

Ara, acabant amb la simplificació del resultat:

$\dfrac{19}{12}$ - $\dfrac{2}{3}$ = $\dfrac{57}{36}$ - $\dfrac{24}{36}$ = $\dfrac{33}{36}$ = $\dfrac{11}{12}$

Per multiplicar dues fraccions cal multiplicar per separat els numeradors i els denominadors. Així:

$\dfrac{4}{15}$ · $\dfrac{5}{3}$ = $\dfrac{20}{45}$ = $\dfrac{4}{9}$

simplificant el resultat.

Per dividir dues fraccions multipliquem la primera per la inversa de la segona. Equivalentment, diem que les fraccions es multipliquen en creu. Així:

$\dfrac{4}{5}$ : $\dfrac{2}{3}$ = $\dfrac{4 · 3}{5 · 2}$ = $\dfrac{12}{10}$ = $\dfrac{6}{5}$

simplificant el resultat.

Per fer una potència d'una fracció cal fer la mateixa potència del numerador i del denominador. Així:

$\left( \dfrac{2}{5} \right)^3$ = $\dfrac{2^3}{5^3}$= $\dfrac{8}{125}$

En expressions complexes on tinguem diverses operacions i parèntesi cal seguir el següent criteri a l'hora d'operar:

1. Els càlculs de dins els parèntesi.
2. Potències.
3. Productes i divisions.
4. Sumes i restes.

Podem veure un exemple en aquest vídeo:

Vídeo d'Antoni Tornero Cobos. Disponible en aquest canal.

Activitat Sobre aquests continguts podeu fer l'activitat A1.3. Operacions amb fraccions.