LL5_Problemes d'optimització

El nombre d'unitats d'un article fabricades cada mes, x, influeix en el preu en euros de cada unitat segons la funció: 

Sabent que la fabricació té unes despeses fixes de 250000 euros i unes despeses variables de 125 euros per cada unitat produïda: 

a) Trobeu la fórmula de la funció B(x) que expressa el benefici obtingut per la venda de x unitats (ingressos obtinguts menys despeses totals)

    Obtenim els ingressos, I(x), multiplicant el nombre d'unitats pel seu preu, x.

    Les despeses són: 

     La funció benefici és: 

b) Calculeu quantes unitats cal fabricar per obtenir el màxim benefici. 

     Per obtenir el màxim d'aquesta funció, fem la derivada i la igualem a zero: 

       Observació: l'equació B'(x)=0 té dues solucions: ±1557,78 però agafem només la positiva ja que                          ha de ser un nombre natural i hem d'agafar el nombre enter més pròxim a 1557,78 que ens                      doni benefici màxim. Si calculem B(1558) i B(1557) veiem que  B(1558)>B(1557). Per tan, la                          solució és 1558 unitats. 

                I podem comprovar que, efectivament, és un màxim: