LL5_Problemes d'optimització

En general en aquest problemes d'optimització amb dues variables els passos a seguir són:

a) Expressar la funció amb dues variables a optimitzar F(x,y)

b) Trobar la relació que existeix entre les dues variables i que ens permet expressar una variable en funció de l'altre.

c) Substituir aquesta variable (expressada en funció de l'altre) en la funció a optimitzar de manera que aquesta ja serà funció d'una sola variable.

d) Igualar a zero la derivada.

Exemple

Volem tancar un camp rectangular que és al costat d'un camí. La tanca del costat del camí costa 5€/m i la dels altres tres costats, 3€/m. Calcula l'àrea del camp de màxima superfície que podem tancar amb 1600€

Seguim els passos:

a) Expressar la funció amb dues variables a optimitzar A(x,y)

    Volem trobar un màxim de l'àrea.

    Si els costats del camp són x, y, la funció a optimitzar és:   

b) Trobar la relació que existeix entre les dues variables

     Si, suposem que el costat del camí és x tenim:

     Ara expressem  una variable, per exemple la y, en funció de la x:

 c) Substituïm aquesta variable en la funció A(x,y) 

    D'aquesta manera la funció a optimitzar ja ens queda d'una variable.

d) Igualar a zero la derivada.

    Calculem el valor de y: 

 Podríem comprovar que efectivament hem obtingut un màxim: