Anterior
Següent

Problemes optimització funció 1 variable

Exemple 1

Exemple

Unes proves de selectivitat s'han valorat amb notes entre 0 i 10. El nombre de persones que han rebut una determinada qualificació x ha vingut donada per la fórmula 

                        bold italic N negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual negreta 250 negreta menys negreta parèntesi esquerre negreta 2 bold italic x negreta menys negreta 9 negreta parèntesi dret elevat a negreta 2

Quina és la nota que han tret més persones?

a) Funció a optimitzar:

    N parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 250 menys parèntesi esquerre 2 x menys 9 parèntesi dret al quadrat

    En aquest cas ja ens han donat directament la funció a optimitzar.

    En alguns problemes haurem de fer algun pas previ per obtenir aquesta funció.

b) Derivem la funció

     N apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 0 menys 2 per parèntesi esquerre 2 x menys 9 parèntesi dret per 2 igual menys 4 parèntesi esquerre 2 x menys 9 parèntesi dret

c) Igualem a zero la derivada

    menys 4 parèntesi esquerre 2 x menys 9 parèntesi dret igual 0 espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai 2 x menys 9 igual 0 espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai 2 x igual 9 espai espai espai fletxa doble dreta espai espai espai x igual fracció 9 entre 2 igual negreta 4 negreta coma negreta 5 espai espai

d) Anàlisis dels resultats

   Generalment això no ho farem però depenent del problema i del resultat pot ser interessant (i fins i tot necessari)

Bàsicament ens referim a dues actuacions: 

 -  Comprovar que aquest extrems que ens surt d'igualar a zero la derivada, és efectivament, un màxim (que és el que ens demanen). Ho podríem confirmar fent la derivada segona:

N apòstrof apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual menys 4 per 2 igual menys 8 espai espai espai espai espai N apòstrof apòstrof parèntesi esquerre 4 coma 5 parèntesi dret igual menys 8 menor que 0 espai espai espai fletxa doble dreta espai espai x igual 4 coma 5 espai m à x i m   

- Si, per exemple, el resulta ha de ser enter i ens dóna decimal, hauríem de decidir quin dels dos enters més pròxims al resultat és la solució del problema.

Per exemple, en aquest problema suposem que ens demanen que el resultat ha de ser una nota entera. Quina agafem 4 o 5?

N parèntesi esquerre 4 parèntesi dret igual 250 menys parèntesi esquerre 2 per 4 menys 9 parèntesi dret al quadrat igual 250 menys parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret al quadrat igual 250 menys 1 igual 249 N parèntesi esquerre 5 parèntesi dret igual 250 menys parèntesi esquerre 2 per 5 menys 9 parèntesi dret al quadrat igual 250 menys 1 al quadrat igual 250 menys 1 igual 249

En aquest cas coincideix que hi ha tantes persones que obtenen nota 4 con mota 5, per tant hi hauria aquestes dues solucions.


Anterior
Següent