Exemples. Posició relativa

EXEMPLE

Donades les rectes:

$r$ que passa per A=(0,1) i B=(3,5)

$s: 2x-5y-1=0$

Troba la posició relativa de les dues rectes, i si és el cas doneu les coordenades del punt de tall

• • Primer cal trobar l'equació de la recta $r$
  •        (Ho podem fer de diverses maneres, està explicat en aquest mateix llibre). 

vector director de $r$és  

I prenem el punt A=(0,1) per escriure l'equació contínua de la recta:  

Passem a forma general o implícita.

Recta r, traurem denominadors i l'escriurem en forma ax+by+c=0

            

• • Són coincidents?

Comprovarem si les dues rectes són coincidents

Hem de veure si es compleix que:

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$

$\frac{a}{a'}=2$

$\frac{b}{b'}=0,6$

$\frac{c}{c'}=-3$

Observem que aquestes tres fraccions no són iguals i per tant no són coincidents les dues rectes

• • Són paral·leles?

Són paral·leles si es compleix:

                                         

 Com que   llavors no són paral·leles.    

• • Són secants?

              En els apartats anteriors hem vist que no són coincidents, ni paral·leles. Per tant, han de ser secants, o sigui que es tallen en un punt.

Per trobar el punt de tall, cal resoldre el sistema d'equacions format per les dues rectes:

$\left \{ \begin{matrix}4x-3y+3=0 \\ 2x-5y-1=0 \end{matrix}\right.$

                 Resolem el sistema d'equacions per qualsevol dels mètodes (substitució, reducció o igualació). Ho farem per reducció.

                Multipliquem la segona equació per -2 amb l'objectiu que el coeficient de les x quedi canviat de signe per poder reduir fàcilment

                

                 Sumant les dues equacions tenim: 

                  

                Substituïm aquest valor en la primera equació:

                  

                 Per tant, les rectes es tallen en el punt