Previous
Next

8. Inversa de matrius

Definició

 Donada una matriu quadrada A, la seva matriu inversa A-1, si existeix, és la matriu que compleix:

                       bold italic A bold times bold italic A to the power of bold minus bold 1 end exponent bold equals bold italic A to the power of bold minus bold 1 end exponent bold times bold italic A bold equals bold italic I

on I és la matriu Identitat.

En aquest bloc ens limitarem al càlcul de matrius inverses d'ordre 2x2.

Ho podem fer de dues maneres. Ho veurem amb un exemple.

Exemple 

Calcular la inversa de la matriu  A equals open parentheses table row 2 cell negative 1 end cell row 1 3 end table close parentheses

· Càlcul de la matriu inversa a partir de la definició.

  Plantegem un sistema d'equacions, ja que volem una matriu X tal que 

                                               A times X equals I

  És a dir:

                 open parentheses table row 2 cell negative 1 end cell row 1 3 end table close parentheses times open parentheses table row a b row c d end table close parentheses equals open parentheses table row 1 0 row 0 1 end table close parentheses

                 open parentheses table row cell 2 a minus c end cell cell 2 b minus d end cell row cell a plus 3 c end cell cell b plus 3 d end cell end table close parentheses equals open parentheses table row 1 0 row 0 1 end table close parentheses space space space space space open table attributes columnalign right end attributes row cell 2 a minus c equals 1 end cell row cell a plus 3 c equals 0 end cell end table close curly brackets space space space space rightwards double arrow space space open table attributes columnalign right end attributes row cell 6 a minus 3 c equals 3 end cell row cell a plus 3 c equals 0 end cell end table close curly brackets space space space rightwards double arrow space space 7 a equals 3 space space space rightwards double arrow space a equals 3 over 7 space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space 3 c equals negative a equals negative 3 over 7 space space rightwards double arrow space space c equals negative fraction numerator 3 over denominator 3 times 7 end fraction equals negative 1 over 7

                    open parentheses table row cell 2 a minus c end cell cell 2 b minus d end cell row cell a plus 3 c end cell cell b plus 3 d end cell end table close parentheses equals open parentheses table row 1 0 row 0 1 end table close parentheses space space space space space open table attributes columnalign right end attributes row cell 2 b minus d equals 0 end cell row cell b plus 3 d equals 1 end cell end table close curly brackets space space space space rightwards double arrow space space open table attributes columnalign right end attributes row cell 6 b minus 3 d equals 0 end cell row cell b plus 3 d equals 1 end cell end table close curly brackets space space space rightwards double arrow space space 7 b equals 1 space space space rightwards double arrow space b equals 1 over 7 space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space 3 d equals 1 minus b equals 1 minus 1 over 7 space equals 6 over 7 space rightwards double arrow space space d equals fraction numerator 6 over denominator 3 times 7 end fraction equals 2 over 7

                    Per tant: 

                    A to the power of negative 1 end exponent equals 1 over 7 open parentheses table row 3 1 row cell negative 1 end cell 2 end table close parentheses          

· Càlcul de la matriu inversa pel mètode de Gauss-Jordan 

  De fet és el mateix que hem fet a dalt però ho expressem en forma matricial: 

  Es tracta de palntejar la matriu ampliada:

   open parentheses table row cell table row 2 cell negative 1 end cell row 1 3 end table end cell cell left enclose space table row 1 0 row 0 1 end table end enclose end cell end table close parentheses 

   Hem de fer transformacions elementals fins que en la part esquerra ens quedi la matriu identitat: open parentheses table row 1 0 row 0 1 end table close parentheses 

   open parentheses table row cell table row 2 cell negative 1 end cell row 1 3 end table end cell cell left enclose space table row 1 0 row 0 1 end table end enclose end cell end table close parentheses space space rightwards arrow space space open parentheses table row cell table row 2 cell negative 1 end cell row 0 cell negative 7 end cell end table end cell cell left enclose space table row 1 0 row 1 cell negative 2 end cell end table end enclose end cell end table close parentheses space space rightwards arrow space space open parentheses table row cell table row cell negative 14 end cell 0 row 0 cell negative 7 end cell end table end cell cell left enclose space table row cell negative 6 end cell cell negative 2 end cell row 1 cell negative 2 end cell end table end enclose end cell end table close parentheses space space rightwards arrow space space open parentheses table row cell table row 1 0 row 0 1 end table end cell cell left enclose space table row cell 3 divided by 7 end cell cell 1 divided by 7 end cell row cell negative 1 divided by 7 end cell cell 2 divided by 7 end cell end table end enclose end cell end table close parentheses

    Per tant:      

     A to the power of negative 1 end exponent equals 1 over 7 open parentheses table row 3 1 row cell negative 1 end cell 2 end table close parentheses

Observacions:

- El procediment per trobar la inversa de matrius quadrades de qualsevol ordre major és el mateix.  Simplement pot sortir més llarg de càlculs.  

- No sempre existeix la matriu inversa d'una matriu.
  Fixeu-vos que, amb el primer mètode, el sistema que plantegem podria ser que no tingués solució.
  O amb el segon mètode podria ser que no poguéssim  obtenir la matriu identitat a l'esquerra.
  La condició perquè una mateix quadrada tingui inversa és que el seu determinant no sigui 0 però això ho veurem en el següent lliurament.

- Hi ha un tercer mètode però utilitza els determinants (que s'estudien en el lliurament 2).

  

Previous
Next