Equacions i funcions exponencials i logarítmiques
Equacions i funcions exponencials i logarítmiques
Com resoldre les equacions logarítmiques?
Els passos per resoldre una equació logarítmica són els següents:
- Arreglar l'equació de manera que només quedi un únic logaritme (de la mateixa base) a cada membre. Per poder fer això cal utilitzar les propietats dels logaritmes. Sovint cal fer les següents transformacions:
- Expressar un nombre com a logaritme (per exemple 3=log 103=log 1000)
- Expressar una suma de logaritmes com a únic logaritme (per exemple «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»log«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»+«/mo»«mi»log«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»log«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mo»)«/mo»«mo»)«/mo»«/math» )
- Expressar una resta de logaritmes com a únic logaritme (per exemple «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»log«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»-«/mo»«mi»log«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»log«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math» )
- Expressar com a únic logaritme una multiplicació d'un nombre per un logaritme (per exemple «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«mi»log«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»log«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«/math» )
- Treure els logaritmes de manera que ens queda un equació sense logaritmes. Això és pot fer degut a que la funció logarítmica «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mi»a«/mi»«/msub»«mi»x«/mi»«/math» és bijectiva des del conjunt (0,+∞) fins al (-∞,+∞) i per tant si «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»log«/mi»«mi»a«/mi»«/msub»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mi»a«/mi»«/msub»«mi»y«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8660;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»y«/mi»«/math»
- Comprovar les solucions obtingudes substituint en l'equació inicial. Tenir present que no tenen sentit els logaritmes de valors negatius o 0.
- Descartar les solucions falses i quedar-nos amb les vàlides.
Exemple 1:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn mathcolor=¨#00007F¨»2«/mn»«mi mathcolor=¨#00007F¨»l«/mi»«mi mathcolor=¨#00007F¨»o«/mi»«mi mathcolor=¨#00007F¨»g«/mi»«mi mathcolor=¨#00007F¨»x«/mi»«mo mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mn mathcolor=¨#00007F¨»3«/mn»«mo mathcolor=¨#00007F¨»+«/mo»«mi mathcolor=¨#00007F¨»l«/mi»«mi mathcolor=¨#00007F¨»o«/mi»«mi mathcolor=¨#00007F¨»g«/mi»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mi»x«/mi»«mn»10«/mn»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»log«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#160;«/mo»«mo»=«/mo»«mi»log«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»1000«/mn»«mo»+«/mo»«mi»log«/mi»«mfrac»«mi»x«/mi»«mn»10«/mn»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»log«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#160;«/mo»«mo»=«/mo»«mi»log«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»1000«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«mn»10«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»A«/mi»«mi»r«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»t«/mi»«mi»r«/mi»«mi»a«/mi»«mi»i«/mi»«mi»e«/mi»«mi»m«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»e«/mi»«mi»l«/mi»«mi»s«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»log«/mi»«mi»a«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»t«/mi»«mi»m«/mi»«mi»e«/mi»«mi»s«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨/»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#160;«/mo»«mo»=«/mo»«mn»1000«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«mn»10«/mn»«/mfrac»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»100«/mn»«mi»x«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨/»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»100«/mn»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#8594;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»100«/mn»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#8594;«/mo»«mfenced open=¨{¨ close=¨¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/menclose»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»S«/mi»«mi»o«/mi»«mi»l«/mi»«mi»u«/mi»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«mi»§#243;«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»f«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«mi»s«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»j«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»q«/mi»«mi»u«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»log«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8708;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«menclose notation=¨box¨»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»100«/mn»«mo»§#160;«/mo»«/menclose»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»
Exemple 2:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn mathcolor=¨#00007F¨»2«/mn»«mi mathcolor=¨#00007F¨»l«/mi»«mi mathcolor=¨#00007F¨»o«/mi»«mi mathcolor=¨#00007F¨»g«/mi»«mo mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mi mathcolor=¨#00007F¨»x«/mi»«mo mathcolor=¨#00007F¨»-«/mo»«mn mathcolor=¨#00007F¨»2«/mn»«mi mathcolor=¨#00007F¨»l«/mi»«mi mathcolor=¨#00007F¨»o«/mi»«mi mathcolor=¨#00007F¨»g«/mi»«mo mathcolor=¨#00007F¨»(«/mo»«mi mathcolor=¨#00007F¨»x«/mi»«mo mathcolor=¨#00007F¨»+«/mo»«mn mathcolor=¨#00007F¨»1«/mn»«mo mathcolor=¨#00007F¨»)«/mo»«mo mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mn mathcolor=¨#00007F¨»0«/mn»«mo mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi mathcolor=¨#191919¨»R«/mi»«mi mathcolor=¨#191919¨»e«/mi»«mi mathcolor=¨#191919¨»s«/mi»«mi mathcolor=¨#191919¨»o«/mi»«mi mathcolor=¨#191919¨»l«/mi»«mi mathcolor=¨#191919¨»u«/mi»«mi mathcolor=¨#191919¨»c«/mi»«mi mathcolor=¨#191919¨»i«/mi»«mi mathcolor=¨#191919¨»§#243;«/mi»«mo mathcolor=¨#191919¨»:«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo 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