Equacions i funcions exponencials i logarítmiques

Què és un logaritme i per a què els utilitzem?

El logaritme és una operació matemàtica íntimament lligada amb les potències.

La seva definició és la següent:

Com la a és positiva la b també sempre ho serà.

A la a l'anomenem base del logaritme i només té sentit si aquesta és positiva.

En paraules podríem dir que el logaritme de b en base a, és el nombre al qual hem d'elevar la a per tal que ens doni b.

Les propietats dels logaritmes, que es deriven de les propietats de les potències, transformen els productes en sumes (recordar que ) i aquest és el fet principal que va portar als matemàtics del segle XVI-XVII a "idear" els logaritmes. En aquella època el comerç i els avenços en l'àmbit de l'astronomia requerien fer càlculs amb nombres molt grans, però tenien el problema que no existien els avenços tecnològics que avui dia ens permeten fer càlcul amb moltíssimes xifres de forma molt ràpida. Per això van introduir els logaritmes que en aquella època treballaven a partir de taules. En aquest enllaç pots llegir un exemple de com fer càlculs amb moltes xifres a partir de taules de logaritmes.

Avui dia, tot i que ja disposem de potent tecnologia, els logaritmes encara són molt útils per canviar escales per aquesta transformació de productes en sumes. En el món actual tenim diversos conceptes que es mesuren amb escales logarítmiques, per exemple:

•  la intensitat d'un terratrèmol,
• el PH d'una substància,
• la intensitat del so....

En aquest lliurament aprendreu a treballar amb les propietats dels logaritmes que també us serviran per resoldre equacions exponencials.

És important que entenguem la notació que es fa servir. En general es fa constar la base del logaritme posant-la com a subíndex log_a , però hi ha dos casos especials:

• el logaritme decimal (en base 10). En aquest cas, en general no posarem el 10 i sobre-entendrem que es tracta del log decimal
• logaritme neperià (en base e). Aquest té una notació especial i en lloc de log escriurem ln.
  

Primers exemples

    Per definició tenim

               

        o sigui: a què hem d'elevar 2 perquè ens doni 8? ... resposta: 3

                 

                                                                                                                 

 Ja hem dit que si no s'indica base, és base 10

 Per tant, volem saber a què elevem 10 perquè ens doni 100?... resposta: 2

                 

                                                                                            

 

   

          

Ús dels logaritmes per resoldre algunes equacions exponencials.

Farem servir logaritmes quan treballem amb equacions on la incògnita "x" és un exponent. Equacions del tipus 

En els apartat anteriors ja vam resoldre equacions del tipus 2^x=16, equacions en què podem expressar els termes com a potència d'una mateixa base: 2^x=2⁴ . 

Ara els logaritmes ens permetran resoldre equacions exponencials on no tots els termes són potències d'una mateixa base. Per exemple:

                                                                     

    Per resoldre aquesta equació aplicarem logaritmes i necessitarem usar la calculadora.

Com calculem els logaritmes amb calculadora?

En general totes les calculadores tenen dos tecles referides als logaritmes. "log" i "ln". Altres més modernes tenen també una tecla que permet fer directament logaritmes en qualsevol base.

"log" correspon a logaritmes en base 10  (com hem dit quan la base és 10, aquesta no es posa, cal sobre-entendre-la)

 "ln" correspon a logaritmes en base "e" que es coneixent com a logaritmes neperians, en honor al matemàtic del s.XVI John Napier

Segons el model de la teva calculadora la sintaxi a escriure pot ser diferent (consulta el manual de la teva), en genera serà

log + nombre = resultat però de vegades és al revès: nombre + log =

El mateix amb el logaritme neperià.

Prova amb la teva calculadora aquests resultats i esbrina quin és el funcionament del teu model:

log1000= 3

log 25= 1,39794

ln e =1

ln 100= 4,605170186

Si ens cal calcular logaritmes en altres bases (i no disposem de la tecla que ens els fa directament), farem servir la propietat de canvi de base que s'explica més endavant però que aquí ja indiquem:

       , per tant transformarem el logaritme de partida a un dels dos que tenim ( log en base 10 o el neperià).