Resum de funcions I

Funcions definides a trossos

En una funció a trossos hi ha diferents expressions segons l'interval on està la variable independent.

Estudiar una funció a trossos suposa estudiar cadascun dels intervals, però restringits al seu domini de definició.

Per calcular la imatge per un valor de la x s'utilitza una o altra expressió depenent de les condicions de cadascuna. Llavors el domini està format per tot el conjunt de valors de x els quals tenen imatge.

Veiem-ne alguns exemples.

Exemple 1

té 4 trossos.

Intentem buscar imatges per alguns valors de x

f(-4)=(-4)-1=-5     (expressió 1a    ja que -4≤-3)

f(-3)=(-3)-1=-4     (expressió 1a    ja que -3≤-3)

f(-1)=1/(-1+2) =1     (expressió 2a    ja que -3<-1<0)

f(-2)= 1/(-2+2)=1/0  que NO EXISTEIX   (expressió 2a    ja que -3<-2<0)

f(0)=NO EXISTEIX ja que no compleix cap de les 4 condicions

f(0'5)=(0'5)²+2=2'25     (expressió 3a    ja que 0<0'5≤1)

f(1)=(1)²+2=3     (expressió 3a    ja que 0<1≤1)

f(3)=5     (expressió 4a    ja que 3≥3)

f(4'2)=5     (expressió 4a    ja que 4'2≥3)

En definitiva estudiant cadascun dels trossos tenim:

• • Si x≤ -3 llavors té imatge, la funció és polinòmica i es calcula substituint en l'expressió
  • Si la funció és racional. Llavors té imatge, llevat del cas x= -2, valor on s'anul·la el denominador i es calcula substituint en l'expressió .
    
  • Si llavors té imatge ( la funció és polinòmica) i es calcula substituint en l'expressió
  • Si x ≥ 3 llavors té imatge i val 5 (la funció és constant)
    

I per tant el

Exemple 2:

Exemple 3

Aquesta funció té dos trossos diferenciats i fixa't que hi ha un conjunt de punts on no està definida: els valors entre 0 i 2. Perfer imatges de valors negatius ens haurem de mirar el tros de dalt i pels valors més grans o igual que 2 haurem de mirar la funció de baix i pels valors entre 0 i 2 no té expressió.

El primer tros és racional. En principi hem d'evitar dividir per 0. El denominador s'anul·la si x= 3, però en ser un valor positiu la seva imatge es faria aplicant la definició del segon tros, per tant el primer tros està ben definida per tots els negatius.

El segon tros és polinòmic i per tant no té cap problema de definició, està ben definida per tots els valors més grans o iguals a 0.

En definitiva l'únic problema de definició ve donat per com ens han definit la funció. Tenim doncs que