Anterior
Següent

Arrels d'un polinomi

Un nombre real a és arrel d'un polinomi P(x) si el valor numèric de P(x) per x=a és 0. És a dir P(a)=0.

Les arrels d'un polinomi són per tant les solucions de l'equació que s'obté en igualar a 0 el polinomi. P(x)=0.

Si a és arrel d'un polinomi podem dir tres coses equivalents:

  • a és arrel de P(x)
  • P(x) és múltiple de (x-a)
  • (x-a) és divisor de P(x)

Si a és arrel de P(x), aquest polinomi es pot expressar com : P(x)=(x-a)·Q(x) per cert polinomi Q(x).


Com es calculen les arrels d'un polinomi?


Polinomis de grau 1 de tipus P(x)=ax+b
 Tenen una única arrel. Per trobar-la només cal igualar el polinomi a 0 i aïllar la x. Tenim una equació de primer grau.

Exemple 

    estil mida 14px P parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 2 x més 5 fi estil

    l'arrel és la solució de 2x+5=0 

     estil mida 14px 2 x més 5 igual 0 espai espai fletxa dreta espai 2 x igual menys 5 espai espai fletxa dreta x igual menys fracció 5 entre 2 fi estil

    L'arrel del polinomi   estil mida 14px P parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 2 x més 5 fi estil  és  estil mida 14px menys fracció 5 entre 2 fi estil

Polinomis de grau 2 de tipus P(x)=ax²+bx+c
Poden tenir 2 arrels reals, una repetida o cap. Per calcular-les resolem l'equació de segon grau que surt en igualar a 0 el polinomi.
Recordem que per trobar les solucions d'una equació de segon grau d'aquest tipus: bold italic a bold italic x elevat a negreta 2 negreta més bold italic b bold italic x negreta més bold italic c negreta igual negreta 0, apliquem la fórmula

bold italic x negreta igual fracció numerador negreta menys negreta b negreta més-menys arrel quadrada de negreta b elevat a negreta 2 negreta menys negreta 4 negreta per negreta a negreta per negreta c fi arrel entre denominador negreta 2 negreta per negreta a fi fracció

El valor que està dins de l'arrel quadrada li diem discriminant i el notem amb el símbol Δ.
Depenent del discriminant Δ=b2-4ac tenim:
   Si  estil mida 14px increment major que 0 espai espai fletxa doble dreta fi estil  2 arrels diferents.
   Si estil mida 14px increment igual 0 espai espai fletxa doble dreta fi estil 1 arrel que direm que és arrel doble o bé que està repetida.
   Si  estil mida 14px increment menor que 0 espai espai fletxa doble dreta fi estil no té arrels reals.
Exemple

   

      P parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x al quadrat més 3 x més 2 

     Les arrels són les solucions de l'equació  estil mida 14px x al quadrat més 3 x més 2 igual 0 fi estil


Δ=b² - 4·a·c = 3²-4·1·2=9-8=1 en ser positiu tenim 2 arrels reals.

x subíndex 1 igual fracció numerador menys b més arrel quadrada de b al quadrat menys 4 per a per c fi arrel entre denominador 2 per a fi fracció igual fracció numerador menys 3 més arrel quadrada de 1 entre denominador 2 fi fracció igual fracció numerador menys 3 més 1 entre denominador 2 fi fracció igual fracció numerador menys 2 entre denominador 2 fi fracció igual menys 1 x subíndex 2 igual fracció numerador menys b més arrel quadrada de b al quadrat menys 4 per a per c fi arrel entre denominador 2 per a fi fracció igual fracció numerador menys 3 menys arrel quadrada de 1 entre denominador 2 fi fracció igual fracció numerador menys 3 menys 1 entre denominador 2 fi fracció igual fracció numerador menys 4 entre denominador 2 fi fracció igual menys 2

El polinomi té les arrels -1 i -2

Polinomis de grau superior a 2
Les arrels seguiran sent les solucions de P(x)=0.
No tenim cap mètode senzill per trobar les arrels de polinomis de grau major que dos, per tant ens limitarem a buscar-les en casos senzills.
És important tenir en compte la següent propietat: un polinomi de grau n tindrà com a màxim n arrels reals.
Per trobar arrels seguirem aquests passos:
  • Extraurem factor comú (si en té). 
  • Si té arrels enteres (no necessàriament en té) aquestes han de dividir el terme independent del polinomi.
      Per tant:
  • Buscarem els divisors del terme independent
  • Provarem per Ruffini si són arrels del polinomi, és a dir si en dividir per x-a el residu dóna 0.
  • Truc: si el polinomi té tots els coeficients positius segur que no té cap arrel positiva, per tant no caldria provar-les.
  • Un cop trobem una arrel, podem repetir el procediment amb el polinomi quocient obtingut.
  • Quan arribem a un polinomi de grau 2 ja podem aplicar la fórmula explicada abans de les equacions de segon grau.

Exemple: Calcular les arrels del polinomi P parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x al cub menys 2 x al quadrat menys 13 x menys 10 

Com el polinomi té grau 3 sabem que com a màxim tindrà tres arrels i que si té arrels enteres aquestes han de dividir a -10.
Els divisors de -10 són : +1, -1, +2, -2, +5, -5, -10, +10
Provem aquests valors per Ruffini:
Comencem per +1
1 -2 -13 -10
1 1 -1 -14
1 -1 -14 -24

Com el residu no és zero, +1 no és arrel del polinomi.

Provem per -1

1 -2 -13 -10
-1 -1 3 10
1 -3 -10 0

Com el residu és zero : -1 és arrel de P(x).

Si seguim provant pels altres valors observarem que les altres dues arrels són -2 i 5. Si ho fem per Rufini, no cal seguir amb el polinomi inicial, es pot fer a partir del quocient que hem obtingut en dividir per x+1, és a dir x²-3x-10. També podríem aplicar la fórmula de resolució de les equacions de segon grau a aquest x²-3x-10, així seria fàcil trobar les altres arrels encara que no fossin enteres.

espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 1 espai espai espai espai espai menys 2 espai espai espai espai espai espai menys 13 espai espai espai espai espai espai menys 10 espai envoltori inferior menys 1 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai menys 1 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 3 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 10 espai espai espai fi envoltori espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 1 espai espai espai espai espai menys 3 espai espai espai espai espai espai espai menys 10 espai espai espai espai espai espai espai espai envoltori inferior envoltori per l'esquerra espai 0 fi envoltori espai fi envoltori espai envoltori inferior menys 2 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai menys 2 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 10 espai espai fi envoltori espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 1 espai espai espai espai espai espai menys 5 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai envoltori inferior envoltori per l'esquerra espai 0 fi envoltori envoltori inferior espai 5 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 5 espai espai espai espai espai fi envoltori espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 1 espai espai espai espai espai espai espai espai espai envoltori inferior envoltori per l'esquerra espai 0 fi envoltori
Hem vist que el polinomi inicial té les arrels -1, -2 i 5.

Arrels i factors

Si a és una arrel del polinomi P(x) , llavors (x-a) és un factor del polinomi.

És a dir,  P(x) es pot escriure com a producte de (x-a) per un altre factor. P(x)=(x-a)·Q(x)

Exemple:

(x-2) és un factor del polinomi P(x)= x³ + x² -5x -2 ja que 2 és una arrel del polinomi.

Observem que P(2)=2³ + 2² -5·2 - 2= 8 + 4 - 10 - 2= 0

per tant P(x)= (x-2)·Q(x) per trobar qui és Q(x) podem dividir el polinomi per (x-2).





Anterior
Següent