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Us proposem un exercici que va aparèixer en les proves de selectivitat de l'any 2018.


Sigui f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual x al cubo menos a x al cuadrado más b x más c

Calculeu els valors dels paràmetres: a, b i c  per tal que la funció f(x) compleixi aquests requisits:

  • Tingui un extrem relatiu en el punt d'abscissa x=1
  • La recta tangent a la funció f(x) en x=0 sigui la recta y igual x más 3
Resolució:
S'ha de traduir les condicions del problema a equacions.
1a. condició.    f(x) ha de tenir un extrem relatiu en x= 1. Això vol dir que f '(1) =0
2a. condició.    La recta tangent a la funció en x=0 és la recta y igual x más 3.   Aquí hi ha dues equacions amagades.  f '(0) =1  i  f(0) =3.
Aquí cal veure que el pendent de la recta tangent coincideix amb la derivada en el punt x=0. La recta tangent té pendent m=1 per tant f ' (0)=m=1. Per una altra banda si x=0 el valor de y en la recta és y=0+3=3, per tant el punt on coincideixen la recta tangent i la funció f(x) és en el punt (0,3)

Ara només queda resoldre el sistema format per aquestes tres equacions:

f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio igual x al cubo menos a x al cuadrado más b x más c espacio flecha doble derecha espacio f espacio apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio igual 3 x al cuadrado menos 2 a x más b abrir llaves tabla atributos alineación columna left espacio columnas 1.4ex fin atributos fila celda f espacio apóstrofo paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho fin celda celda igual 0 fin celda fila celda f espacio apóstrofo paréntesis izquierdo 0 paréntesis derecho fin celda celda igual 1 fin celda fila celda f paréntesis izquierdo 0 paréntesis derecho fin celda celda igual 3 fin celda fin tabla cerrar flecha doble derecha abrir llaves tabla atributos alineación columna left espacio columnas 1.4ex fin atributos fila celda f espacio apóstrofo paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho fin celda celda igual 3 paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho al cuadrado menos 2 a paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho más b igual 0 fin celda fila celda f espacio apóstrofo paréntesis izquierdo 0 paréntesis derecho fin celda celda igual 3 paréntesis izquierdo 0 paréntesis derecho al cuadrado menos 2 a paréntesis izquierdo 0 paréntesis derecho más b igual 1 fin celda fila celda f paréntesis izquierdo 0 paréntesis derecho fin celda celda igual 0 al cubo menos a por 0 al cuadrado más b por 0 más c igual 3 fin celda fin tabla cerrar flecha doble derecha abrir llaves tabla atributos alineación columna left espacio columnas 1.4ex fin atributos fila celda 2 a menos b fin celda celda igual 3 fin celda fila b celda igual 1 fin celda fila c celda igual 3 fin celda fin tabla cerrar flecha doble derecha envoltorio caja abrir llaves tabla atributos alineación columna left left espacio columnas 1.4ex 1.4ex fin atributos fila a celda igual 2 fin celda fila b celda igual 1 fin celda fila c celda igual 3 fin celda fin tabla cerrar fin envoltorio flecha doble derecha A q u e s t s espacio s ó n espacio e l s espacio v a l o r s espacio d e l s espacio p a r à m e t r e s

 

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