Conceptes bàsics Anàlisis II

lloc:	Cursos IOC - Batxillerat
Curs:	Matemàtiques (autoformació IOC)
Llibre:	Conceptes bàsics Anàlisis II

Imprès per:	Usuari convidat
Data:	dissabte, 4 de maig 2024, 18:48

Taula de continguts

1. APLICACIONS DE LES DERIVADES
- 1.1. Aplicacions de les derivades. Optimització
- 1.2. Exemple 2
- 1.3. Exemple 3
- 1.4. Exemple 4 PAU
- 1.5. Exemple 5
- 1.6. Trobar "a" i "b" per tal que la funció compleixi requisits
- 1.7. Trobar "a" i "b" per tal que la funció compleixi requisits
2. INTEGRALS. APLICACIONS
3. Introducció a la integració
4. Concepte de integració.
5. Taula integrals immediates
6. Integral indefinida. Primitives
7. Propietats de les integrals
8. Com aplicar les propietats anteriors
9. Funcions que es poden reduïr a potències
10. Integració per canvi de variable.
11. Mètode integració per parts
12. Com sabem en la integració per parts qui és u i qui dv
13. Integrals on hi ha un logaritme
14. Integrals definides
15. Càlcul d'integrals definides
16. Concepte d'integral definida
17. Càlcul d'àrees sota una corba
18. Exemple 2. Àrea sota una corba
19. Exemple 3. Integral definida
20. Càlcul àrea entre dos corbes
21. Càlcul àrea entre dos corbes. Exemple 2
22. Aplicacions en altres camps del coneixement
23. Dossier amb exercicis resolts
24. Exercicis PAU
25. Exercicis PAU

APLICACIONS DE LES DERIVADES

Optimitzar és trobar el màxim o el mínim d'una funció sotmesa a certes condicions imposades.

Per resoldre un problema d'optimització seguirem aquests passos:

Identificar les variables del problema.
Escriure algebraicament la funció que s'ha d'optimitzar
Escriure algebraicament la relació entre les variables
Aïllar de la relació anterior una variable i substituir en la funció. Cal aconseguir que la funció sigui d'una única variable.
Trobar els extremes (màxims i mínims) de la funció, resolent l'equació f '(x) =0
Comprovar si són màxims o mínims
Analitzar la coherència de la solució dins del context de l'enunciat

Exemple 1

Aquest dipòsit en forma d'ortoedre, té un volum de 72 m³ i la llargada (a) és el doble que l'amplada (c). Deduir les dimensions del dipòsit per tal que la superfície sigui mínima

Identificar les variables del problema.

a= llarg

b= ample

c= altura

Escriure algebraicament la funció que s'ha d'optimitzar

Àrea(A)= 2 bases + 4 cares laterals = a·c + a·c + b·c + b·c +a·b +a·b = 2·a·c + 2·b·c + 2·a·b

Escriure algebraicament la relació entre les variables

V=llarg·ample·altura = a·b·c

72 = a·b·c

A més la llargada (a) és el doble que l'amplada (c)

a = 2·c

De les dues equacions obtenim :

72 = 2c·b·c = 2bc²

null

Aïllar de la relació anterior una variable i substituir en la funció.

A = 2·a·c + 2·b·c + 2·a·b = 2·(2c)·c + 2·b·c + 2·(2c)·b =4c² + 2·b·c + 4bc =4c² + 6·b·c

$A igual 4 c al quadrat espai més espai 6 obre parèntesis fracció 36 entre c al quadrat tanca parèntesis c A igual 4 c al quadrat espai més espai fracció 216 entre c$

Trobar els extremes (màxims i mínims) de la funció, resolent l'equació f '(x) =0

$A apòstrof espai igual 8 c espai més espai obre parèntesis fracció numerador menys 216 entre denominador c al quadrat fi fracció tanca parèntesis A apòstrof espai igual 8 c espai menys fracció 216 entre c al quadrat espai igual 0 8 c al cub espai igual espai 216 c al cub espai igual espai fracció 216 entre 8 c al cub espai igual espai fracció 216 entre 8 c al cub espai igual espai 27 c igual arrel cúbica de 27 igual 3$

Comprovar si són màxims o mínims

Es pot comprovar de dos formes.

En aquest exercici comprovarem en la segona derivada.

Si f ''(punt) >0 ---> el punt és mínim

Si f ''(punt) <0 ---> el punt és màxim

En el nostre cas, calcularem la segona derivada

$A apòstrof apòstrof espai igual 8 espai més espai fracció 432 entre c al cub A apòstrof apòstrof espai parèntesi esquerre 3 parèntesi dret igual 8 espai més espai fracció 432 entre 3 elevat a 4 espai major que 0$

Per tant en c= 3 la funció presenta un mínim

Analitza

El resultat té sentit ja que hem obtingut un ortoedre de dimensions c= 3 cm, a=6 cm i b=36/c²= 36/9 =4 cm

Exemple 2

De tots els triangles rectangles d'hipotenusa 10 cm , trobeu la longitud dels catets del triangle que té perímetre màxim. Comproveu que la solució trobada correspon realment al de perímetre màxim.

Identificar les variables del problema.

x= catet (base del triangle) y= catet (altura del triangle)

Escriure algebraicament la funció que s'ha d'optimitzar

Perímetre màxim. Per tant la funció a maximitzar és el perímetre.

P = Perímetre = Suma de tots els costats = x+ y +10

Escriure algebraicament la relació entre les variables

La relació entre les variables és el Teorema de Pitàgores: x²+ y² = 10²

Aïllar de la relació anterior una variable i substituir en la funció. Cal aconseguir que la funció sigui d'una única variable.

$y igual arrel quadrada de 10 al quadrat menys x al quadrat fi arrel$

$P igual x espai més espai arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel espai més 10$

Trobar els extremes (màxims i mínims) de la funció, resolent l'equació f '(x) =0

Cal derivar la funció P(x) d'una variable

$P espai apòstrof espai parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual espai 1 espai més espai fracció numerador menys 2 x entre denominador 2 per arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel fi fracció espai més espai 0 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai espai espai espai P espai apòstrof espai parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual espai 1 espai menys espai fracció numerador ratllat diagonal cap amunt 2 x entre denominador ratllat diagonal cap amunt 2 per arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel fi fracció espai P espai apòstrof espai parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual espai 1 espai menys espai fracció numerador x entre denominador arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel fi fracció espai igual 0 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai espai espai espai espai 1 igual espai fracció numerador x entre denominador arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel fi fracció arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel espai igual espai x espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fletxa doble dreta espai E l e v a n t espai a l espai q u a d r a t espai dos punts espai espai espai obre parèntesis arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel tanca parèntesis al quadrat espai igual obre parèntesis x tanca parèntesis al quadrat 100 menys x al quadrat espai igual espai x al quadrat espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fletxa doble dreta espai 2 per x al quadrat espai igual espai 100 espai espai$

$x igual espai més-menys arrel quadrada de 50 igual més-menys 5 arrel quadrada de 2 igual asimptòtic més-menys 7.07 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai y igual més-menys arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel igual més-menys arrel quadrada de 50 igual asimptòtic més-menys 7.07$

Comprovar si són màxims o mínims

Els valors negatius no els tindrem en compte donat que no poden correspondre a la mida dels catets d'un triangle rectangle.

$f espai apòstrof apòstrof espai parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual 0 menys fracció numerador 1 espai per espai arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel menys espai x espai per espai estil mostrar fracció numerador menys 2 x entre denominador 2 arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel fi fracció fi estil entre denominador obre parèntesis arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel tanca parèntesis al quadrat fi fracció f espai apòstrof apòstrof espai parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual menys fracció numerador espai arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel més espai estil mostrar fracció numerador ratllat diagonal cap amunt 2 x al quadrat entre denominador ratllat diagonal cap amunt 2 arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel fi fracció fi estil entre denominador obre parèntesis arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel tanca parèntesis al quadrat fi fracció espai igual fracció numerador espai arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel més espai estil mostrar fracció numerador x al quadrat entre denominador arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel fi fracció fi estil entre denominador 100 menys x al quadrat fi fracció H e m espai d apòstrof e s t u d i a r espai e l espai s i g n e espai d e espai f espai apòstrof apòstrof espai parèntesi esquerre 7 coma 07 parèntesi dret espai igual menys fracció numerador espai arrel quadrada de 100 menys 50 fi arrel més espai estil mostrar fracció numerador 50 entre denominador arrel quadrada de 100 menys 50 fi arrel fi fracció fi estil entre denominador 100 menys 50 fi fracció igual menys fracció numerador espai arrel quadrada de 50 més espai estil mostrar fracció numerador 50 entre denominador arrel quadrada de 50 fi fracció fi estil entre denominador 50 fi fracció espai menor que 0 P e r espai tan t espai e n espai x igual 7 coma 07 espai l a espai f u n c i ó espai t é espai u n espai m à x i m.$

Analitzar la coherència de la solució dins dels context de l'enunciat

El resultats $x igual espai més-menys arrel quadrada de 50 igual més-menys 5 arrel quadrada de 2 igual asimptòtic més-menys 7.07 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai y igual més-menys arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel igual més-menys arrel quadrada de 50 igual asimptòtic més-menys 7.07$

tenen sentit en el context del problema. Observeu que el triangle de màxim perímetre és el triangle isòsceles, que té el dos catets iguals.

Les vendes anuals S d'un nou producte s'expressen segons aquesta fórmula: $S igual fracció numerador 5000 espai t al quadrat entre denominador 8 espai més espai t al quadrat fi fracció espai espai espai espai espai espai espai o n espai espai espai espai espai 0 menor o igual que t menor o igual que 3 espai espai espai espai espai espai espai espai i espai espai espai espai t igual e x p r e s s a t espai e n espai a n y s$

a) Completa la taula següent


x	0.5	1	1.5	2	2.5	3
S

b) En quin moment concret les vendes van ser les màximes?

Resposta

$S parèntesi esquerre 0 coma 5 parèntesi dret igual fracció numerador 5000 espai per parèntesi esquerre 0 coma 5 parèntesi dret al quadrat entre denominador 8 espai més espai parèntesi esquerre 0 coma 5 parèntesi dret al quadrat fi fracció espai espai espai espai igual espai 151 espai a r t i c l e s espai v e n u t s S parèntesi esquerre 1 parèntesi dret igual fracció numerador 5000 espai per parèntesi esquerre 1 parèntesi dret al quadrat entre denominador 8 espai més espai parèntesi esquerre 1 parèntesi dret al quadrat fi fracció espai espai espai espai igual espai 555 espai a r t i c l e s espai v e n u t s S parèntesi esquerre 1 coma 5 parèntesi dret igual fracció numerador 5000 espai per parèntesi esquerre 1 coma 5 parèntesi dret al quadrat entre denominador 8 espai més espai parèntesi esquerre 1 coma 5 parèntesi dret al quadrat fi fracció espai espai espai espai igual espai 1097 espai a r t i c l e s espai v e n u t s S parèntesi esquerre 2 parèntesi dret igual fracció numerador 5000 espai per parèntesi esquerre 2 parèntesi dret al quadrat entre denominador 8 espai més espai parèntesi esquerre 2 parèntesi dret al quadrat fi fracció espai espai espai espai igual espai 1666 espai a r t i c l e s espai v e n u t s S parèntesi esquerre 2 coma 5 parèntesi dret igual fracció numerador 5000 espai per parèntesi esquerre 2 coma 5 parèntesi dret al quadrat entre denominador 8 espai més espai parèntesi esquerre 2 coma 5 parèntesi dret al quadrat fi fracció espai espai espai espai igual espai 2192 espai a r t i c l e s espai v e n u t s S parèntesi esquerre 3 parèntesi dret igual fracció numerador 5000 espai per parèntesi esquerre 3 parèntesi dret al quadrat entre denominador 8 espai més espai parèntesi esquerre 3 parèntesi dret al quadrat fi fracció espai espai espai espai igual espai 2647 espai a r t i c l e s espai v e n u t s$

Ja es veu que a mida que va passant el temps, va creixent el nombre d'articles venuts. En l'interval [0,3] sembla que el màxim s'obtindrà en x=3

Estudiem la derivada per saber si hi ha un extrem en l'interval [0,3]. Si no hi ha cap extrem, vol dir que el mínim i màxim de la funció serà o en x=0 o en x=3

$S apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual espai fracció numerador obre parèntesis 10000 espai t espai tanca parèntesis per espai parèntesi esquerre 8 espai més espai t al quadrat parèntesi dret menys obre parèntesis 5000 espai t al quadrat tanca parèntesis per obre parèntesis 2 t tanca parèntesis entre denominador espai parèntesi esquerre 8 espai més espai t al quadrat parèntesi dret al quadrat fi fracció igual fracció numerador 80000 espai t més 10000 espai t al cub menys 10000 espai t al cub entre denominador espai parèntesi esquerre 8 espai més espai t al quadrat parèntesi dret al quadrat fi fracció S apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual fracció numerador 80000 espai t entre denominador espai parèntesi esquerre 8 espai més espai t al quadrat parèntesi dret al quadrat fi fracció S apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 0 fracció numerador 80000 espai t entre denominador espai parèntesi esquerre 8 espai més espai t al quadrat parèntesi dret al quadrat fi fracció igual 0 fletxa doble dreta t igual 0$

Veiem que si hi ha un extrem (màxim o mínim) relatiu ha d'estar en x=0

S(0) = 0 articles. Correspon al mínim

El màxim per tant està en x=3.

Exercici 1.

Aquesta expressió $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 500 menys fracció x al quadrat entre 8000$ relaciona x= nombre d'unitats venudes d'un producte, i f(x) el preu en euros de cada unitat.

Se sap que la fabricació té unes despeses fixes de 100 000 euros i unes despeses variables de 100 euros per unitat fabricada.

a) Trobeu la funció B(x) que expressi el benefici obtingut per la venda de "x" unitats. Els Beneficis s'obtenen de restar els ingressos menys les despeses.
b) Calculeu el nombre d'unitats que cal fabricar per obtenir el màxim de beneficis.
c) Quin és el preu per unitat òptim?

Recordeu els passos:

Identificar les variables del problema.
Escriure algebraicament la funció que s'ha d'optimitzar
Escriure algebraicament la relació entre les variables
Aïllar de la relació anterior una variable i substituir en la funció. Cal aconseguir que la funció sigui d'una única variable.
Trobar els extremes (màxims i mínims) de la funció, resolent l'equació f '(x) =0
Comprovar si són màxims o mínims
Analitzar la coherència de la solució dins del context de l'enunciat

Pas 1. Identificar les variables x=nombre d'unitats venudes d'un producte. Només hi ha una variable.

Pas 2. Escriure algebraicament la funció que s'ha d'optimitzar. Observeu que la funció f(x) no és la funció a optimitzar. S'ha d'optimitzar el benefici

B parèntesi esquerre x parèntesi dret igual I n g r e s s o s espai menys espai D e s p e s e s espai igual x per obre claudàtors 500 menys fracció x al quadrat entre 8000 tanca claudàtors espai espai menys espai espai obre claudàtors 100000 més 100 x tanca claudàtors

Els ingressos es calculen multiplicant les unitats pel preu de cada unitat

Les despeses són els 100000 euros més 100 euros per cada unitat fabricada

Pas 3 i Pas 4 no s'han de fer, ja que només hi ha una variable
Pas 5 Trobar els extrems de la funció B(x)

B parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x per obre claudàtors 500 menys fracció x al quadrat entre 8000 tanca claudàtors espai espai menys espai espai obre claudàtors 100000 més 100 x tanca claudàtors espai igual espai 500 x menys fracció x al cub entre 8000 menys 10000 menys 100 x igual 400 x menys fracció x al cub entre 8000 menys 10000 E s espai d e r i v a espai a q u e s t a espai f u n c i ó dos punts B espai apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 400 menys fracció numerador 3 x al quadrat entre denominador 8000 fi fracció S apòstrof i g u a l a espai a espai z e r o B espai apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 400 menys fracció numerador 3 x al quadrat entre denominador 8000 fi fracció igual 0 espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai espai 0 igual 400 menys fracció numerador 3 x al quadrat entre denominador 6000 fi fracció espai espai espai fletxa doble dreta espai espai espai menys 400 igual menys fracció numerador 3 x al quadrat entre denominador 8000 fi fracció espai espai espai fletxa doble dreta espai espai espai menys 3200000 igual menys 3 x al quadrat espai espai fletxa doble dreta espai espai fracció numerador espai 3200000 entre denominador 3 fi fracció igual x al quadrat x igual més-menys 1032 N o m é s espai l a espai s o l u c i ó espai p o s i t i v a espai t é espai s e n t i t

Pas 6 Comprovar si són és màxim o mínim. Podem usar la segona derivada.

B espai apòstrof apòstrof espai parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador menys 6 x entre denominador 8000 fi fracció B espai apòstrof apòstrof parèntesi esquerre 1032 parèntesi dret igual fracció numerador menys 6 parèntesi esquerre 1032 parèntesi dret entre denominador 8000 fi fracció igual menys espai p e r espai tan t espai é s espai m à x i m

Analitzem la coherència del resultat. Encara que s'han obtingut dos resultats només el resultat positiu té sentit.

Resposta: S'ha obtingut que cal fabricar 1032 unitats del producte per tal que el benefici sigui màxim. I el preu per unitat serà

f parèntesi esquerre 1032 parèntesi dret espai igual parèntesi esquerre 500 menys fracció 1032 al quadrat entre 8000 parèntesi dret espai igual 366 coma 87 espai e u r o s

Exercici :

Trobeu les dimensions del rectangle inscrit en un cercle de radi 1m, que tingui l'àrea màxima.

Per tal de donar resposta us adjuntem la figura que il·lustra la situació.

També explicitem els passos a seguir:

a) Assigneu incògnites. En aquesta cas ja les hem explicitat en el gràfic.
b) Escriviu l'àrea del rectangle en funció de "x" i "y"
c) Escriviu la relació entre les incògnites x, y, usant el Teorema de Pitàgores.
d) Aïlleu "y" (es podria aïllar l'altra incògnita)
e) Escriviu ara, l'àrea del rectangle en funció de només la incògnita "x"
f) Calculeu el màxim, derivant la funció (d'una sola variable) obtinguda en l'apartat anterior.

Resolució:

a) x= alçada del rectangle i y= base del rectangle

b) Àrea del rectangle = x·y

c) Relació entre "x" "y" i la diagonal del cercle, tenint en compte que es pot aplicar el Teorema de Pitàgores, donat que la base, l'altura i la diagonal formen un triangle rectangle--> $x al quadrat més y al quadrat igual 2 al quadrat$

d) $y al quadrat igual 4 menys x al quadrat y igual arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel$

e) $À r e a espai r e c tan g l e igual espai x per y espai igual espai x per espai arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel$

f) $A igual espai x per espai arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel A apòstrof espai igual espai 1 espai per espai arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel espai més espai x espai per espai fracció numerador menys ratllat diagonal cap amunt 2 x entre denominador ratllat diagonal cap amunt 2 per arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel fi fracció igual espai espai arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel espai menys espai fracció numerador x al quadrat entre denominador arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel fi fracció C a l espai r e s o l d r e espai l apòstrof e q u a c i ó espai A apòstrof igual 0 espai arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel espai menys espai fracció numerador x al quadrat entre denominador arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel fi fracció igual 0 espai espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai espai espai espai arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel espai igual espai fracció numerador x al quadrat entre denominador arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel fi fracció espai espai espai fletxa doble dreta parèntesi esquerre arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel espai parèntesi dret parèntesi esquerre arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel parèntesi dret igual espai x al quadrat espai espai espai espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai espai espai 4 espai menys x al quadrat espai igual espai x al quadrat espai espai fletxa doble dreta espai 4 igual espai 2 x al quadrat espai espai espai fletxa doble dreta x igual més-menys arrel quadrada de 2 E l s espai v a l o r espai n e g a t i u espai n o espai e s espai p o t espai t e n i r espai e n espai c o m p t e espai c o m espai a espai m e s u r a espai d apòstrof u n espai cos t a t espai d apòstrof u n espai r e c tan g l e$

$x igual arrel quadrada de 2 A espai p a r t i r espai d apòstrof a q u e s t espai v a l o r espai d e espai " x " espai c a l c u l e m espai e l espai v a l o r espai d apòstrof espai " y " y igual arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel espai igual arrel quadrada de 4 menys parèntesi esquerre arrel quadrada de 2 parèntesi dret al quadrat fi arrel igual arrel quadrada de 4 menys 2 fi arrel igual arrel quadrada de 2$

Faltaria argumentar per què aquests valors corresponen a l'àrea màxima i no a l'àrea mínima.

Establirem intervals i estudiarem el signe de la derivada i el creixement de la funció per saber si "x" és màxim o mínim

valor x	$parèntesi esquerre 0 coma arrel quadrada de 2 parèntesi dret$	$arrel quadrada de 2$	$parèntesi esquerre arrel quadrada de 2 coma més infinit parèntesi dret$
signe A '	A ' (1) = +		A '(2) = -
creixement de la funció A	creixent	màxim	decreixent

Per tant en x=

arrel quadrada de 2

la funció té un màxim

Solució : El rectangle d'àrea màxima que es pot inscriure en el cercle de radi 1, és un QUADRAT de costat $arrel quadrada de 2$

Exercici:
Trobar els valors de "a" i "b" per tal que la funció f(x) passi pels punts A(0,2) i B(2,0) i en A tingui un màxim :

f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual espai parèntesi esquerre b menys x parèntesi dret per e elevat a a x fi elevat

Resolució:

Cal traduir les condicions del problema a equacions
a) f(x) passa per A --> f(0)=2 -->

f parèntesi esquerre 0 parèntesi dret espai igual espai parèntesi esquerre b menys 0 parèntesi dret per e elevat a a per parèntesi esquerre 0 parèntesi dret fi elevat espai igual espai parèntesi esquerre b parèntesi dret per e elevat a parèntesi esquerre 0 parèntesi dret fi elevat espai igual envoltori caixa espai b igual 2 fi envoltori

b) f(x) passa per B --> f(2)=0 -->

f parèntesi esquerre 2 parèntesi dret espai igual espai parèntesi esquerre b menys 2 parèntesi dret per e elevat a a per parèntesi esquerre 2 parèntesi dret fi elevat espai igual espai parèntesi esquerre 2 menys 2 parèntesi dret per e elevat a parèntesi esquerre 2 a parèntesi dret fi elevat espai igual envoltori caixa espai 0 igual 0 fi envoltori

c) f(x) té un màxim en A --> f ' (0)=0 -->

f espai apòstrof espai parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual espai parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret per e elevat a a x fi elevat espai més parèntesi esquerre b menys x parèntesi dret per e elevat a a x fi elevat per a f espai apòstrof espai parèntesi esquerre 0 parèntesi dret espai igual espai parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret per e elevat a 0 espai més parèntesi esquerre 2 menys 0 parèntesi dret per e elevat a 0 per a igual menys 1 més 2 a igual 0 fletxa doble dreta envoltori caixa a igual 1 mig fi envoltori

Us proposem un exercici que va aparèixer en les proves de selectivitat de l'any 2018.

Sigui

f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x al cub menys a x al quadrat més b x més c

Calculeu els valors dels paràmetres: a, b i c per tal que la funció f(x) compleixi aquests requisits:

Tingui un extrem relatiu en el punt d'abscissa x=1

La recta tangent a la funció f(x) en x=0 sigui la recta $y igual x més 3$

Resolució:
S'ha de traduir les condicions del problema a equacions.

1a. condició. f(x) ha de tenir un extrem relatiu en x= 1. Això vol dir que f '(1) =0

2a. condició. La recta tangent a la funció en x=0 és la recta

y igual x més 3

. Aquí hi ha dues equacions amagades. f '(0) =1 i f(0) =3.
Aquí cal veure que el pendent de la recta tangent coincideix amb la derivada en el punt x=0. La recta tangent té pendent m=1 per tant f ' (0)=m=1. Per una altra banda si x=0 el valor de y en la recta és y=0+3=3, per tant el punt on coincideixen la recta tangent i la funció f(x) és en el punt (0,3)

Ara només queda resoldre el sistema format per aquestes tres equacions:

f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual x al cub menys a x al quadrat més b x més c espai fletxa doble dreta espai f espai apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual 3 x al quadrat menys 2 a x més b obre claus taula atributs alineació columna left espai entre columnes 1.4ex fin atributos fila cel·la f espai apòstrof parèntesi esquerre 1 parèntesi dret fi cel·la cel·la igual 0 fi cel·la fila cel·la f espai apòstrof parèntesi esquerre 0 parèntesi dret fi cel·la cel·la igual 1 fi cel·la fila cel·la f parèntesi esquerre 0 parèntesi dret fi cel·la cel·la igual 3 fi cel·la fin tabla tanca fletxa doble dreta obre claus taula atributs alineació columna left espai entre columnes 1.4ex fin atributos fila cel·la f espai apòstrof parèntesi esquerre 1 parèntesi dret fi cel·la cel·la igual 3 parèntesi esquerre 1 parèntesi dret al quadrat menys 2 a parèntesi esquerre 1 parèntesi dret més b igual 0 fi cel·la fila cel·la f espai apòstrof parèntesi esquerre 0 parèntesi dret fi cel·la cel·la igual 3 parèntesi esquerre 0 parèntesi dret al quadrat menys 2 a parèntesi esquerre 0 parèntesi dret més b igual 1 fi cel·la fila cel·la f parèntesi esquerre 0 parèntesi dret fi cel·la cel·la igual 0 al cub menys a per 0 al quadrat més b per 0 més c igual 3 fi cel·la fin tabla tanca fletxa doble dreta obre claus taula atributs alineació columna left espai entre columnes 1.4ex fin atributos fila cel·la 2 a menys b fi cel·la cel·la igual 3 fi cel·la fila b cel·la igual 1 fi cel·la fila c cel·la igual 3 fi cel·la fin tabla tanca fletxa doble dreta envoltori caixa obre claus taula atributs alineació columna left left espai entre columnes 1.4ex 1.4ex fin atributos fila a cel·la igual 2 fi cel·la fila b cel·la igual 1 fi cel·la fila c cel·la igual 3 fi cel·la fin tabla tanca fi envoltori fletxa doble dreta A q u e s t s espai s ó n espai e l s espai v a l o r s espai d e l s espai p a r à m e t r e s

La derivació i la integració són dos procediments matemàtics molt potents i útils en la resolució d'una infinitat de problemes. Aquests dos procediments són la base del Càlcul infinitesimal.

La integració permet calcular àrees i volums de cossos geomètrics i resoldre problemes d'altres àmbits, com ara l'Economia i la Física.

En aquest recurs trobareu un resum dels conceptes bàsics sobre integració i exemples d'aplicació.

S'explica com:

Calcular la funció primitiva d'una funció
Calcular integrals immediates i quasiimmediates
Calcular integrals pels mètodes d'integració de substitució i parts
Calcular integrals de funcions racionals senzilles
Calcular integrals definides
Calcular àrea de la regió del pla compresa entre dos funcions
La integral permet resoldre situacions de la vida real.

La integració.

La integració es pot definir com el procés invers a la derivació. Així doncs calcular la integral d'una funció f (x) és trobar una altra funció g (x) de forma que g ' (x) = f (x)

L'expressió: $integral subíndex blanc superíndex blanc f parèntesi esquerre x parèntesi dret d x$ es llegeix com la integral de la funció f(x) respecte la variable x.

Per calcular integrals, cal saber bé derivar, i tenir interioritzades les derivades de les funcions més usuals

Exemple

$integral subíndex blanc superíndex blanc 1 per d x espai igual espai x espai més espai k$

Posem aquesta K, que vol dir que qualsevol nombre va bé.

Dit d'una altra forma :

$integral subíndex blanc superíndex blanc 1 per d x espai igual espai x espai més 1$

$integral subíndex blanc superíndex blanc 1 per d x espai igual espai x espai més 30$

$integral subíndex blanc superíndex blanc 1 per d x espai igual espai x espai menys 0 coma 5$

Observeu que si derivem la funció g(x) = x + k obtenim g ' (x) = 1

Per tant es compleix la idea de que fer la integral de f(x) és buscar una funció g(x) que al derivar-la dona g ' (x) = f(x)

Exemple

$integral subíndex blanc superíndex blanc x per d x espai igual espai fracció x al quadrat entre 2 espai més espai k$

Observeu que si derivem la funció g(x) = $fracció x al quadrat entre 2 més k$ obtenim g ' (x) = x

Exemple

$integral subíndex blanc superíndex blanc x al quadrat per d x espai igual espai fracció x al cub entre 3 espai més espai k$

Observeu que si derivem la funció g(x) = $fracció x al cub entre 3 més k$ obtenim g ' (x) = x²

Exemple

$integral subíndex blanc superíndex blanc x al cub per d x espai igual espai fracció x elevat a 4 entre 4 espai més espai k$

Observeu que si derivem la funció g(x) = $fracció x elevat a 4 entre 4 més k$ obtenim g ' (x) = x³

Taula d'integrals immediates

Aquesta taula permet calcular les integrals immediates. La taula es construeix a partir de la taula de derivades.

Primitives immediates		Primitives immediates
$integral subíndex blanc superíndex blanc 0 per d x espai igual espai C espai igual espai c o n s tan t igual n º espai r e a l$		$integral subíndex blanc superíndex blanc 1 per d x espai igual espai x espai més espai C espai$
$integral subíndex blanc superíndex blanc x elevat a n per d x espai igual espai fracció numerador x elevat a n més 1 fi elevat entre denominador n més 1 fi fracció més C espai punt i coma espai s i espai n no igual menys 1$		$integral subíndex blanc superíndex blanc u elevat a n per u apòstrof per d x espai igual espai fracció numerador u elevat a n més 1 fi elevat entre denominador n més 1 fi fracció més C espai punt i coma espai s i espai n no igual menys 1$
$integral subíndex blanc superíndex blanc fracció 1 entre x per d x espai igual espai L n obre barra vertical x tanca barra vertical més C espai$		$integral subíndex blanc superíndex blanc fracció numerador u apòstrof entre denominador u fi fracció per d x espai igual espai L n obre barra vertical u tanca barra vertical més C espai$
$integral subíndex blanc superíndex blanc e elevat a x per d x espai igual espai e elevat a x més C espai$		$integral subíndex blanc superíndex blanc e elevat a u per u apòstrof per d x espai igual espai e elevat a u més C espai$
$integral subíndex blanc superíndex blanc a elevat a x per d x espai igual espai fracció numerador a elevat a x entre denominador L n parèntesi esquerre a parèntesi dret fi fracció més C espai$		$integral subíndex blanc superíndex blanc a elevat a u per u apòstrof per d x espai igual espai fracció numerador a elevat a u entre denominador L n parèntesi esquerre a parèntesi dret fi fracció més C espai$

Primitives immediates trigonomètriques		Primitives immediates trigonomètriques
$integral subíndex blanc superíndex blanc sin parèntesi esquerre x parèntesi dret per d x espai igual espai menys cos espai fi parèntesi esquerre x parèntesi dret espai més espai C espai$		$integral subíndex blanc superíndex blanc u apòstrof per sin parèntesi esquerre u parèntesi dret per d x espai igual menys espai cos espai fi parèntesi esquerre u parèntesi dret espai més espai C espai$
$integral subíndex blanc superíndex blanc cos parèntesi esquerre x parèntesi dret per d x espai igual espai sin espai fi parèntesi esquerre x parèntesi dret espai més espai C espai$		$integral subíndex blanc superíndex blanc u apòstrof per cos parèntesi esquerre u parèntesi dret per d x espai igual espai sin espai fi parèntesi esquerre u parèntesi dret espai més espai C espai$
$integral subíndex blanc superíndex blanc fracció numerador 1 entre denominador cos al quadrat parèntesi esquerre x parèntesi dret fi fracció per d x espai igual tan g espai parèntesi esquerre x parèntesi dret més C espai$		$integral subíndex blanc superíndex blanc fracció numerador u apòstrof entre denominador cos al quadrat parèntesi esquerre u parèntesi dret fi fracció per d x espai igual tan g espai parèntesi esquerre u parèntesi dret més C espai$
$integral subíndex blanc superíndex blanc fracció numerador 1 entre denominador arrel quadrada de 1 menys x al quadrat fi arrel fi fracció per d x espai igual a r c s i n espai parèntesi esquerre x parèntesi dret més C espai$		$integral subíndex blanc superíndex blanc fracció numerador u apòstrof entre denominador arrel quadrada de 1 menys u al quadrat fi arrel fi fracció per d x espai igual a r c s i n espai parèntesi esquerre u parèntesi dret més C espai$
$integral subíndex blanc superíndex blanc fracció numerador menys 1 entre denominador arrel quadrada de 1 menys x al quadrat fi arrel fi fracció per d x espai igual a r c cos espai parèntesi esquerre x parèntesi dret més C espai$		$integral subíndex blanc superíndex blanc fracció numerador menys u apòstrof entre denominador arrel quadrada de 1 menys u al quadrat fi arrel fi fracció per d x espai igual a r c o s espai parèntesi esquerre u parèntesi dret més C espai$
$integral subíndex blanc superíndex blanc fracció numerador 1 entre denominador 1 més x al quadrat fi fracció per d x espai igual a r c tan g espai parèntesi esquerre x parèntesi dret més C espai$		$integral subíndex blanc superíndex blanc fracció numerador u apòstrof entre denominador 1 més u al quadrat fi fracció per d x espai igual a r c tan g espai parèntesi esquerre u parèntesi dret més C espai$

Integral indefinida. Primitiva. Diferències entre els dos conceptes.

La primitiva d'una funció és una única. La integral indefinida són moltes.

Una funció F(x) és una primitiva d'una funció f(x) quan F '(x)=f(x)

Integral indefinida d'una funció f(x) és el conjunt de totes les primitives de f(x)

Per exemple les funcions $G parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x al quadrat més 1 coma espai espai H parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x al quadrat coma espai espai J parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x al quadrat més fracció 2 entre 3 espai espai i espai espai K parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x al quadrat menys arrel quadrada de 2$ són primitives de la funció $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 2 x$ ja que al derivar-les ens dona f(x):

$obre parèntesis x al quadrat més 1 tanca parèntesis elevat a apòstrof igual 2 x obre parèntesis x al quadrat tanca parèntesis elevat a apòstrof igual 2 x obre parèntesis x al quadrat més fracció 2 entre 3 tanca parèntesis elevat a apòstrof igual 2 x obre parèntesis x al quadrat menys arrel quadrada de 2 espai tanca parèntesis elevat a apòstrof igual 2 x$

Però hi ha moltíssimes més funcions que són primitives de f(x). Qualsevol funció que sigui del tipus $F parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x al quadrat més C$ on C pot ser qualsevol nombre real $parèntesi esquerre C pertany normal nombres reals parèntesi dret$ serà una primitiva.

Al conjunt de totes les primitives de la funció f(x) l'anomenem integral indefinida i es representa $integral f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x$

Per tant el conjunt de totes les primitives de la funció $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 2 x$ bé representat per la integral definida $integral 2 x espai d x$

Exemple

En aquest exemple us mostrarem la diferència entre trobar una primitiva d'una funció i trobar la integral indefinida de la funció.

Trobeu la integral indefinida de la funció f(x)

Trobeu la primitiva de la funció $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x al quadrat més 7 x menys 5$ que passi pel punt A=(-1,6)

Solució

Per trobar tant la integral indefinida com una primitiva cal fer:

$integral f parèntesi esquerre x parèntesi dret per d x igual integral parèntesi esquerre x al quadrat més 7 x menys 5 parèntesi dret per espai d x espai igual envoltori caixa fracció x al cub entre 3 més 7 per fracció x al quadrat entre 2 menys 5 x més K fi envoltori igual G parèntesi esquerre x parèntesi dret S apòstrof h a espai a p l i c a t espai l a espai r e g l a espai d e espai d e r i v a c i ó espai d e espai l e s espai p o t è n c i e s obre claus taula fila cel·la integral x elevat a n per d x igual fracció numerador x elevat a n més 1 fi elevat entre denominador n més 1 fi fracció espai més K fi cel·la fila blank fi taula tanca claus$

Fins aquí s'ha trobat la integral indefinida de la funció f(x), ja que hem trobat totes les funcions G(x) que en derivar-les dona f(x)

Ara es buscarà l'única primitiva que passa pel punt A=(-1,6)

G(x) ha de passar per A=(-1,6) per tant G(-1)=6

$G parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret igual fracció numerador parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret al cub entre denominador 3 fi fracció més fracció numerador 7 per parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret al quadrat entre denominador 2 fi fracció menys 5 per parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret més K igual 6 fracció numerador menys 1 entre denominador 3 fi fracció més fracció 7 entre 2 més 5 més K igual 6 fletxa doble dreta K igual 6 més 1 terç menys fracció 7 entre 2 menys 5 fletxa doble dreta K igual menys fracció 13 entre 6 envoltori caixa G parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció x al cub entre 3 més fracció numerador 7 x al quadrat entre denominador 2 fi fracció menys 5 x menys fracció 13 entre 6 fi envoltori$

Conclusió:

La integral indefinida de la funció f(x) és: $envoltori caixa G parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció x al cub entre 3 més fracció numerador 7 x al quadrat entre denominador 2 fi fracció menys 5 x més K fi envoltori$

La primitiva de la funció $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x al quadrat més 7 x menys 5$ que passa pel punt A=(-1,6) és: $envoltori caixa G parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció x al cub entre 3 més fracció numerador 7 x al quadrat entre denominador 2 fi fracció menys 5 x menys fracció 13 entre 6 fi envoltori$

Quines propietats puc aplicar en el càlcul d'integrals i quines no?

Les úniques propietats que són vàlides i per tant podem utilitzar són :

$envoltori caixa espai espai 1. espai espai integral k per f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x igual k per integral f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x espai espai 2. espai espai integral f parèntesi esquerre x parèntesi dret més g parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x igual integral f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x espai espai més espai integral g parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x espai espai espai espai espai espai espai espai 3. espai espai integral f parèntesi esquerre x parèntesi dret menys g parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x igual integral f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x espai espai menys espai integral g parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x fi envoltori$

En cap cas són vàlides les igualtats :

$ratllat diagonal cap avall diagonal cap amunt espai espai integral fracció numerador f parèntesi esquerre x parèntesi dret entre denominador g parèntesi esquerre x parèntesi dret fi fracció espai d x espai igual fracció numerador integral f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x entre denominador integral g parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x fi fracció espai espai integral f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai per g parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x espai igual espai integral f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x espai espai per espai integral g parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x fi ratllat$

Com puc aplicar les propietats anteriors?

Propietat 1:

$envoltori caixa espai espai integral k per f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x igual k per integral f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x espai espai fi envoltori$

Utilitat 1 : quan un nombre que està multiplicant a tota la funció ens interessa que no estigui dins la integral ja que $integral f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x$ la coneixem

Exemples :

$integral 3 x elevat a 5 espai d x espai igual 3 espai per integral x elevat a 5 espai d x espai igual espai 3 per fracció x elevat a 6 entre 6 més C igual espai 1 mig x elevat a 6 més C integral 2 cos x espai d x espai igual 2 per integral cos x espai d x espai igual espai 2 espai sin x espai més C integral fracció 5 entre x d x espai igual integral 5 per fracció 1 entre x d x espai igual 5 per integral fracció 1 entre x d x espai igual 5 espai ln espai x espai més C integral 10 x e elevat a x al quadrat fi elevat d x espai igual integral 5 per 2 x e elevat a x al quadrat fi elevat d x espai igual 5 per integral 2 x e elevat a x al quadrat fi elevat d x espai igual 5 e elevat a x al quadrat espai fi elevat més C$

Utilitat 2 : quan ens interessaria que hi hagi un nombre que està multiplicant a tota la funció perquè sapiguem resoldre la integral

Exemples :

$integral cos espai parèntesi esquerre 5 x parèntesi dret espai d x igual integral fracció 5 entre 5 cos espai parèntesi esquerre 5 x parèntesi dret espai d x espai igual 1 cinquè espai sin parèntesi esquerre 5 x parèntesi dret espai més C$

En aquest cas ens interessava tenir un "5" dins de la integral ja que sabem que: $obre parèntesis sin parèntesi esquerre 5 x parèntesi dret tanca parèntesis espai apòstrof espai igual espai 5 per espai cos espai parèntesi esquerre 5 x parèntesi dret$

$integral fracció numerador 1 entre denominador 2 x menys 6 fi fracció d x igual integral fracció 2 entre 2 per fracció numerador estil mostrar 1 fi estil entre denominador estil mostrar 2 x menys 6 fi estil fi fracció d x igual 1 mig integral 2 per fracció numerador estil mostrar 1 fi estil entre denominador estil mostrar 2 x menys 6 fi estil fi fracció d x igual fracció numerador estil mostrar 1 fi estil entre denominador estil mostrar 2 fi estil fi fracció integral fracció numerador estil mostrar 2 fi estil entre denominador estil mostrar 2 x menys 6 fi estil fi fracció d x igual fracció numerador estil mostrar 1 fi estil entre denominador estil mostrar 2 fi estil fi fracció per espai L n parèntesi esquerre 2 x menys 6 parèntesi dret més C$

En aquest exemple ens interessava tenir un "2" dins de la integral ja que sabem que: $obre parèntesis L n parèntesi esquerre espai 2 x menys 6 parèntesi dret tanca parèntesis espai apòstrof espai igual espai fracció numerador 2 entre denominador 2 x menys 6 fi fracció$

$integral x al quadrat per e elevat a x al cub fi elevat espai d x espai igual integral fracció 3 entre 3 per x al quadrat per e elevat a x al cub fi elevat espai d x espai igual 1 terç integral 3 per x al quadrat per e elevat a x al cub fi elevat espai d x espai igual 1 terç e elevat a x al cub fi elevat més C$

En aquest exemple ens interessava tenir un "3" dins de la integral ja que: $obre parèntesis e elevat a x al cub fi elevat tanca parèntesis elevat a espai apòstrof fi elevat espai igual espai e elevat a x al cub fi elevat espai per espai 3 x al quadrat$

Propietat 2 i 3:

$envoltori caixa espai espai integral f parèntesi esquerre x parèntesi dret més-menys g parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x igual integral f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x espai més-menys integral g parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x espai espai fi envoltori$

Utilitat : quan sabem resoldre la integral per separat de cada funció

Exemples :

$integral e elevat a x més sin x espai espai d x igual integral e elevat a x espai d x espai més integral sin x espai espai d x igual e elevat a x espai fi elevat més parèntesi esquerre menys cos x parèntesi dret espai més C igual e elevat a x menys cos x espai espai més C integral fracció 1 entre x menys 2 x e elevat a x al quadrat fi elevat espai espai d x igual integral fracció 1 entre x espai d x espai menys integral 2 x e elevat a x al quadrat fi elevat espai espai espai d x igual ln espai x espai menys e elevat a x al quadrat fi elevat espai espai més C$

I ara acabem amb exemples que combinen les tres propietats

Exemples :

$integral 4 e elevat a x menys 5 sin x espai espai d x igual 4 per integral e elevat a x espai d x espai menys 5 integral sin x espai espai d x igual 4 e elevat a x espai fi elevat menys 5 parèntesi esquerre menys cos x parèntesi dret espai més C igual 4 e elevat a x més 5 cos x espai espai més C integral fracció 6 entre x menys x e elevat a x al quadrat fi elevat espai espai d x igual integral fracció 6 entre x espai d x espai menys integral x e elevat a x al quadrat fi elevat d x igual 6 per integral fracció 1 entre x espai d x espai menys integral fracció 2 entre 2 x e elevat a x al quadrat fi elevat d x igual 6 espai ln espai x espai menys 1 mig integral 2 x e elevat a x al quadrat fi elevat d x igual espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai igual 6 espai ln espai x espai menys 1 mig e elevat a x al quadrat fi elevat espai més espai C$

Com puc fer més fàcil el càlcul d'algunes integrals?

Hi ha funcions que abans de integrar-les és millor que fem un petit retoc en la seva expressió. Aquest és el cas d'una funció que la seva expressió es pot reduir a una sola potència o a suma o resta de potències.

Si tenim expressada la funció de la manera $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x elevat a n$ sempre serà més fàcil ja que $integral x elevat a n d x igual obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la fracció numerador x elevat a n més 1 fi elevat entre denominador n més 1 fi fracció espai més espai C espai espai espai espai s i espai n no igual menys 1 fi cel·la fila cel·la ln x espai més espai C espai espai espai espai espai espai espai espai espai s i espai n igual menys 1 fi cel·la fi taula tanca$

Exemple 1:

Imagina que hem d'integrar la funció $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador x elevat a 5 entre denominador arrel quarta de x al cub fi arrel fi fracció$ .

Fixem-nos que $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador x elevat a 5 entre denominador arrel quarta de x al cub fi arrel fi fracció igual fracció x elevat a 5 entre x elevat a estil mostrar fracció 3 entre 4 fi estil fi elevat igual x elevat a 5 menys fracció 3 entre 4 fi elevat igual x elevat a fracció 17 entre 4 fi elevat$

Aleshores $integral fracció numerador x elevat a 5 entre denominador arrel quarta de x al cub fi arrel fi fracció espai d x igual integral espai x elevat a fracció 17 entre 4 fi elevat espai d x espai igual fracció numerador x elevat a estil mostrar fracció 17 entre 4 més 1 fi estil fi elevat entre denominador fracció 17 entre 4 més 1 fi fracció més C espai igual fracció numerador x elevat a estil mostrar fracció 21 entre 4 fi estil fi elevat entre denominador fracció 21 entre 4 fi fracció més C espai igual fracció 4 entre 21 arrel quarta de x elevat a 21 fi arrel més C$

Exemple 2:

Ens demanen $integral fracció 2 entre x elevat a 4 menys arrel cinquena de x al quadrat fi arrel menys 3 x al quadrat més fracció numerador 1 entre denominador arrel amb índex 6 de x fi fracció espai d x$ .

La manera més senzilla de fer aquesta integral és primer arreglant l'expressió de la funció abans d'integrar

$fracció 2 entre x elevat a 4 menys arrel cinquena de x al quadrat fi arrel menys 3 x al quadrat més fracció numerador 1 entre denominador arrel amb índex 6 de x fi fracció igual 2 x elevat a menys 4 fi elevat menys x elevat a fracció 2 entre 5 fi elevat menys 3 x al quadrat més x elevat a menys fracció 1 entre 6 fi elevat$

Ara resolem ja la integral

$integral fracció 2 entre x elevat a 4 menys arrel cinquena de x al quadrat fi arrel menys 3 x al quadrat més fracció numerador 1 entre denominador arrel amb índex 6 de x fi fracció espai d x espai igual integral 2 x elevat a menys 4 fi elevat menys x elevat a fracció 2 entre 5 fi elevat menys 3 x al quadrat més x elevat a menys fracció 1 entre 6 fi elevat espai d x igual 2 per fracció numerador x elevat a menys 4 més 1 fi elevat entre denominador menys 4 més 1 fi fracció menys fracció numerador x elevat a estil mostrar fracció 2 entre 5 fi estil més 1 fi elevat entre denominador fracció 2 entre 5 més 1 fi fracció menys ratllat diagonal cap amunt 3 per fracció numerador x al cub entre denominador ratllat diagonal cap amunt 3 fi fracció més fracció x elevat a menys estil mostrar fracció 1 entre 6 fi estil més 1 fi elevat entre blanc elevat a menys fracció 1 entre 6 més 1 fi elevat més C igual espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai igual menys fracció 2 entre 3 x elevat a menys 3 fi elevat menys fracció numerador x elevat a estil mostrar fracció 7 entre 5 fi estil fi elevat entre denominador fracció 7 entre 5 fi fracció menys x al cub més fracció x elevat a estil mostrar fracció 5 entre 6 fi estil fi elevat entre blanc elevat a fracció 5 entre 6 fi elevat més C igual menys fracció numerador 2 entre denominador 3 x al cub fi fracció menys fracció 5 entre 7 arrel cinquena de x elevat a 7 fi arrel menys x al cub més fracció 6 entre 5 arrel amb índex 6 de x elevat a 5 fi arrel espai espai més C$

Exemple 3:

També podem utilitzar aquesta tècnica per integrar funcions racionals quan el denominador estigui format per un sols monomi

És per exemple el cas de la funció $g parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador 2 x elevat a 4 menys 4 x més 1 entre denominador x al quadrat fi fracció$ .

Primer separem l'expressió en tants trossos com termes te el numerador i després reduïm cada tros a una potència

$g parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador 2 x elevat a 4 menys 4 x més 1 entre denominador x al quadrat fi fracció igual fracció numerador 2 x elevat a 4 entre denominador x al quadrat fi fracció menys fracció numerador 4 x entre denominador x al quadrat fi fracció més fracció 1 entre x al quadrat igual 2 x al quadrat menys 4 x elevat a menys 1 fi elevat més x elevat a menys 2 fi elevat$

Ara resolem ja la integral

$integral espai fracció numerador 2 x elevat a 4 menys 4 x més 1 entre denominador x al quadrat fi fracció espai d x igual integral 2 x al quadrat menys 4 x elevat a menys 1 fi elevat més x elevat a menys 2 fi elevat espai d x espai igual 2 per fracció x al cub entre 3 menys 4 per ln x més fracció numerador x elevat a menys 1 fi elevat entre denominador menys 1 fi fracció més C espai igual fracció 2 entre 3 x al cub menys 4 ln x menys fracció 1 entre x més C$

Exemple 1.

$integral subíndex blanc fracció numerador 50 entre denominador arrel amb índex blanc de 1 més 2 x fi arrel fi fracció d x$

$u igual arrel amb índex blanc de 1 més 2 x fi arrel espai fletxa doble dreta u al quadrat espai igual espai 1 més 2 x espai fletxa doble dreta fracció numerador u al quadrat menys 1 entre denominador 2 fi fracció igual x d e r i v e m espai a q u e s t a espai ú l t i m a espai e x p r e s s i ó espai dos punts espai x igual fracció numerador u al quadrat menys 1 entre denominador 2 fi fracció 1 per espai d x espai igual espai fracció numerador 2 u entre denominador 2 fi fracció per d u d x espai igual espai u espai per d u$

Ara substituïm en la integral inicial :

$integral subíndex blanc fracció numerador 50 entre denominador arrel amb índex blanc de 1 més 2 x fi arrel fi fracció d x espai igual integral subíndex blanc fracció 50 entre u per u per d u espai igual integral 50 per d u espai igual espai 50 integral 1 per d u espai igual 50 per obre claudàtors u tanca claudàtors igual 50 espai per arrel amb índex blanc de 1 més 2 x fi arrel espai més espai k$

Observeu que aquesta integral es podria plantejar com quasi immediata, obtenint el mateix resultat.

Mètode d'integració per parts

És un mètode molt útil en la integració de funcions que són el producte (multiplicació) d'altres funcions. Consisteix en separar la funció a integrar en dues parts. Una part s'anomenarà u i l'altra dv. I s'aplicarà la següent fórmula:

$envoltori caixa integral u espai per espai d v espai igual espai u per v espai menys espai integral v espai per d u fi envoltori$

El càlcul de la integral d'una funció formada pel producte (multiplicació) de dues funcions no es pot fer integrant cada una de les funcions per separat. Això és degut a que la derivada del producte de dues funcions no és la derivada de cada una de les funcions.

Una forma d'integrar el producte de dues funcions és usar el mètode d'integració per parts.

Mètode

Encara que és un mètode simple cal aplicar-lo correctament. Observeu que després d'aplicar el mètode d'integració per parts, cal resoldre una segona integral, que necessàriament ha de ser més fàcil que la primera i si no és així, és que s'han triat incorrectament les parts.

Passos a seguir:

L'integrant (funció inicial) ha de ser producte (multiplicació) de dues funcions (factors).
Un dels factors serà u i l'altra dv.
S'ha de calcular du derivant l'expressió u
S'ha de calcular v integrant dv.
S'ha d'aplicar la fórmula.
S'ha de resoldre la integral que queda.

Exemple

$integral x al quadrat espai per L n parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x$

Solució

Pas 1. S'ha d'observar si la funció a integrar (integrant) és el producte de dues funcions. En aquest cas es veu que sí i que aquestes funcions són la funció Ln(x) i la funció x².

Pas 2, 3, 4.Triar quina funció serà la que faci de u (funció a derivar) i la que faci de dv (funció a integrar)
Aquesta no és una decisió fàcil. Cal pensar que integrar és més difícil i per tant s'ha de triar pensant en quina funció és millor integrar i si en coneix la integral.
En aquest cas la funció Logaritme (Ln(x)) es pot derivar fàcilment però no és immediat trobar la serva integral. Això fa pensar que les parts han de ser:

$obre claus taula fila cel·la F u n c i ó espai a espai d e r i v a r espai espai espai fletxa dreta espai espai espai u igual ln x espai fletxa dreta d u igual fracció 1 entre x espai fi cel·la fila cel·la F u n c i ó espai a espai i n t e g r a r espai espai espai fletxa dreta espai espai espai d v igual x al quadrat espai fletxa dreta v igual 1 terç x al cub fi cel·la fi taula tanca claus$

Pas 5,6. Aplicar la fórmula i resoldre la integral que queda després d'aplicar la fórmula.

$integral x al quadrat per ln x espai d x espai igual 1 terç x al cub per ln x menys integral fracció 1 entre x per 1 terç x al cub espai d x igual 1 terç x al cub per ln x menys integral 1 terç x al quadrat espai d x igual 1 terç x al cub per ln x menys 1 terç per fracció x al cub entre 3 més K igual espai envoltori caixa 1 terç x al cub per ln x menys fracció x al cub entre 9 més K fi envoltori obre claus taula fila cel·la u igual ln x espai fletxa dreta d u igual fracció 1 entre x fi cel·la fila cel·la d v igual x al quadrat espai fletxa dreta v igual 1 terç x al cub fi cel·la fi taula tanca claus$

En la integració per parts com sabem quin dels dos membres és u i quin és dv? u és sempre el primer?

No és sempre u el primer factor. L'ordre no determina l'elecció. Normalment procedim de la següent manera:

Si els dos factors que s'estan multiplicant els se integrar i un dels dos és un polinomi, llavors agafem com a u el polinomi. D'aquesta manera en la integral que queda surt el grau rebaixat i per tant una integral més senzilla. per exemple:

$integral e elevat a x per parèntesi esquerre x al quadrat més 3 parèntesi dret espai d x espai igual e elevat a x per parèntesi esquerre x al quadrat més 3 parèntesi dret menys integral 2 x e elevat a x d x obre claus taula fila cel·la u igual x al quadrat més 3 espai fletxa dreta d u igual 2 x fi cel·la fila cel·la d v espai igual espai e elevat a x fletxa dreta v igual e elevat a x fi cel·la fi taula tanca claus$

Ara tornaríem a fer el mateix amb la integral que ens queda que com veus és del mateix estil però on el polinomi és d'un grau menor

$integral e elevat a x per parèntesi esquerre x al quadrat més 3 parèntesi dret espai d x espai igual e elevat a x per parèntesi esquerre x al quadrat més 3 parèntesi dret menys integral 2 x e elevat a x d x espai negreta igual e elevat a x per parèntesi esquerre x al quadrat més 3 parèntesi dret menys obre claudàtors 2 x e elevat a x menys integral 2 e elevat a x d x tanca claudàtors igual e elevat a x per parèntesi esquerre x al quadrat més 3 parèntesi dret menys 2 x e elevat a x més 2 e elevat a x més K igual obre claus taula fila cel·la u igual x al quadrat més 3 espai fletxa dreta d u igual 2 x fi cel·la fila cel·la d v espai igual espai e elevat a x fletxa dreta v igual e elevat a x fi cel·la fi taula tanca claus espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai obre claus taula fila cel·la negreta u negreta igual negreta 2 negreta x negreta espai negreta fletxa dreta negreta d negreta u negreta igual negreta 2 fi cel·la fila cel·la negreta d negreta v negreta espai negreta igual negreta espai negreta e elevat a negreta x negreta fletxa dreta negreta v negreta igual negreta e elevat a negreta x fi cel·la fi taula tanca claus negreta espai e elevat a x parèntesi esquerre x al quadrat més 3 menys 2 x més 2 parèntesi dret més K igual espai envoltori caixa espai e elevat a x parèntesi esquerre x al quadrat menys 2 x més 5 parèntesi dret més K fi envoltori$

Si sols sabem integrar un dels dos factors llavors, aquest és dv. Per exemple

$integral x per ln x espai per d x espai igual 1 mig x al quadrat per ln x menys integral fracció 1 entre x per 1 mig x al quadrat espai per d x igual 1 mig x al quadrat per ln x menys integral 1 mig x espai per d x igual 1 mig x al quadrat per ln x menys 1 mig per fracció x al quadrat entre 2 més K igual espai envoltori caixa 1 mig x al quadrat per ln x menys fracció x al quadrat entre 4 més K fi envoltori obre claus taula fila cel·la u igual ln x espai fletxa dreta d u igual fracció 1 entre x fi cel·la fila cel·la d v igual x espai fletxa dreta v igual 1 mig x al quadrat fi cel·la fi taula tanca claus$

De vegades no en sap integrar cap i sols hi ha un factor. En aquest cas afegim la funció 1 multiplicant i aquesta serà la funció a derivar. Per exemple

$integral ln x espai per espai d x espai igual integral 1 per ln x espai per d x espai igual x per ln x menys integral x per fracció 1 entre x per d x igual x per ln x menys integral 1 per d x igual envoltori caixa x per ln x menys x més K fi envoltori obre claus taula fila cel·la u igual ln x espai espai espai fletxa dreta espai espai d u igual fracció 1 entre x fi cel·la fila cel·la d v igual 1 espai fletxa dreta espai espai espai v igual x fi cel·la fi taula tanca claus$

Si se sap integrar les dues funcions, en principi s'ha de provar de les dues maneres i escollir la que doni lloc a una integral més senzilla.

Si quan busquem la primitiva d'una funció en aquesta hi ha un In x (logaritme neperià de x) aquest té alguna integral indefinida immediata? Com es resol?

No hi ha un mètode directe. Depèn de la integral si és quasi immediata o si es fa per canvi de variable, o per parts o altres mètodes que no estudiareu en aquest curs.

Abans heu vist un exemple que contenia un logaritme i que s'ha resolt per parts. Ara us mostrem un exemple on aplicarem canvi de variable i integral quasi-immediata.

Exemple:

$integral fracció numerador ln al quadrat parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret entre denominador 2 x més 1 fi fracció d x$

Com a integral quasi-immediata:

Fixeu-vos que si s'arregla l'expressió de la funció a integrar s'adequa a aplicar que $integral obre claudàtors f parèntesi esquerre x parèntesi dret tanca claudàtors elevat a n per f espai apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x espai igual espai fi fracció numerador obre claudàtors f parèntesi esquerre x parèntesi dret tanca claudàtors elevat a n més 1 fi elevat entre denominador n més 1 fi fracció més k$

Hem inserit un 2 que necessitava ja que $obre parèntesis ln parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret tanca parèntesis elevat a espai negreta apòstrof fi elevat igual fracció numerador 1 entre denominador 2 x més 1 fi fracció per 2 igual fracció numerador 2 entre denominador 2 x més 1 fi fracció$ .

De fet s'ha multiplicat per 1 =2/2 I PER TANT queda igual .

Ara ja podem finalitzar la integral

$integral fracció numerador ln al quadrat parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret entre denominador 2 x més 1 fi fracció d x igual integral fracció negreta 2 entre negreta 2 per obre claudàtors ln parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret espai tanca claudàtors al quadrat per fracció numerador 1 entre denominador 2 x més 1 fi fracció d x igual fracció 1 entre negreta 2 integral obre claudàtors ln parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret espai tanca claudàtors al quadrat per fracció numerador 2 entre denominador 2 x més 1 fi fracció d x igual 1 mig per fracció obre claudàtors ln parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret espai tanca claudàtors al cub entre 3 més K igual envoltori caixa espai fracció obre claudàtors ln parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret espai tanca claudàtors al cub entre 6 més K fi envoltori espai$

Per canvi de variable:

$integral fracció numerador ln al quadrat parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret entre denominador 2 x més 1 fi fracció d x igual integral fracció numerador t al quadrat entre denominador ratllat diagonal cap amunt parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret fi ratllat fi fracció per fracció numerador ratllat diagonal cap amunt parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret fi ratllat entre denominador 2 fi fracció per d t igual integral 1 mig t al quadrat espai d t igual 1 mig per fracció t al cub entre 3 més K igual fracció 1 entre 6 t al cub més K igual envoltori caixa espai fracció 1 entre 6 obre claudàtors ln parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret tanca claudàtors al cub més K espai fi envoltori obre claus taula fila cel·la t igual ln parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret fi cel·la fila cel·la d t igual fracció numerador 2 entre denominador 2 x més 1 fi fracció per d x fletxa dreta d x igual fracció numerador 2 x més 1 entre denominador 2 fi fracció per d t fi cel·la fi taula tanca claus$

Càlcul d'integrals definides
Concepte d'integral definida
Càlcul d'àrees sota una corba

Com es calcula una integral definida?

Si f(x) és contínua en [a,b] i G(x) és una primitiva seva, aleshores:

$integral subíndex a superíndex b f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x espai igual G parèntesi esquerre b parèntesi dret menys G parèntesi esquerre a parèntesi dret$

Exemple 1:

$integral subíndex menys 1 fi subíndex superíndex 2 x al quadrat menys 4 espai d x igual obre claudàtors fracció x al cub entre 3 menys 4 x tanca claudàtors subíndex menys 1 fi subíndex superíndex 2 igual fracció 8 entre 3 menys 8 menys obre parèntesis menys 1 terç menys 4 parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret tanca parèntesis igual fracció 8 entre 3 menys 8 més 1 terç menys 4 igual espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fracció 8 entre 3 més 1 terç menys 12 igual fracció 9 entre 3 menys 12 espai igual 3 menys 12 igual espai envoltori caixa menys 9 fi envoltori$

Exemple 2:

$integral subíndex menys 1 fi subíndex superíndex 0 x e elevat a x al quadrat menys 3 fi elevat espai d x$

Primer busquem una primitiva de la funció.

Observem que $parèntesi esquerre e elevat a x al quadrat menys 3 fi elevat parèntesi dret apòstrof igual e elevat a x al quadrat menys 3 fi elevat per 2 x igual espai 2 x e elevat a x al quadrat menys 3 fi elevat$ i per tant és una integral immediata

$integral x e elevat a x al quadrat menys 3 fi elevat espai d x igual integral fracció 2 entre 2 per x e elevat a x al quadrat menys 3 fi elevat espai d x igual 1 mig per integral 2 x e elevat a x al quadrat menys 3 fi elevat espai d x igual 1 mig e elevat a x al quadrat menys 3 fi elevat més C$

Ara ja podem resoldre la integral definida

$integral subíndex menys 1 fi subíndex superíndex 0 x e elevat a x al quadrat menys 3 fi elevat espai d x igual obre claudàtors 1 mig e elevat a x al quadrat menys 3 fi elevat tanca claudàtors subíndex menys 1 fi subíndex superíndex 0 igual 1 mig e elevat a menys 3 fi elevat menys 1 mig e elevat a menys 2 fi elevat igual espai espai espai 1 mig obre parèntesis fracció 1 entre e al cub menys fracció 1 entre e al quadrat tanca parèntesis igual espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 1 mig obre parèntesis fracció 1 entre e al cub menys fracció e entre e al cub tanca parèntesis espai igual espai espai envoltori caixa espai fracció numerador 1 menys e entre denominador 2 e al cub fi fracció espai fi envoltori$

Exemple 3:

$integral subíndex menys 1 fi subíndex superíndex 2 espai fracció numerador x entre denominador 3 x al quadrat més 5 fi fracció espai d x$

Primer busquem una primitiva de la funció.

Observem que $obre parèntesis ln parèntesi esquerre 3 x al quadrat més 5 parèntesi dret tanca parèntesis apòstrof igual fracció numerador 1 entre denominador 3 x al quadrat més 5 fi fracció per 6 x igual fracció numerador 6 x entre denominador 3 x al quadrat més 5 fi fracció$ i per tant és una integral immediata

$integral fracció numerador x entre denominador 3 x al quadrat més 5 fi fracció espai d x igual integral fracció 6 entre 6 per fracció numerador x entre denominador 3 x al quadrat més 5 fi fracció espai d x igual fracció 1 entre 6 per integral fracció numerador 6 x entre denominador 3 x al quadrat més 5 fi fracció espai d x igual fracció 1 entre 6 per ln parèntesi esquerre 3 x al quadrat més 5 parèntesi dret espai més C$

Ara ja podem resoldre la integral definida

$integral subíndex menys 1 fi subíndex superíndex 2 espai fracció numerador x entre denominador 3 x al quadrat més 5 fi fracció espai d x espai igual espai obre claudàtors fracció 1 entre 6 ln parèntesi esquerre 3 x al quadrat més 5 parèntesi dret tanca claudàtors subíndex menys 1 fi subíndex superíndex 2 espai igual fracció 1 entre 6 ln parèntesi esquerre 17 parèntesi dret espai menys fracció 1 entre 6 ln parèntesi esquerre 8 parèntesi dret igual fracció 1 entre 6 obre parèntesis ln parèntesi esquerre 17 parèntesi dret espai menys ln parèntesi esquerre 8 parèntesi dret tanca parèntesis espai igual espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fracció 1 entre 6 ln obre parèntesis fracció 17 entre 8 tanca parèntesis igual envoltori caixa espai ln espai arrel amb índex 6 de fracció 17 entre 8 fi arrel espai fi envoltori$

Què representa fer una integral definida?

La integral definida $integral subíndex a superíndex b f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x$ representa fer una suma i restes d'àrees compreses entre la gràfica de la funció, l'eix d'abscisses i les rectes x=a i x=b, tenint en compta que si l'àrea queda per sota de l'eix de les X és resta i si queda per sobre es suma

Per exemple si tenim una funció la gràfica de la qual és la de sota, tindríem que

$integral subíndex a superíndex b f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x espai igual menys A subíndex 1 més A subíndex 2 més A subíndex 3 menys A subíndex 4 més A subíndex 5$

Comprovem això amb un exemple concret

Exemple 1:

Calculem primer la integral definida de la funció f(x)=x-1 amb límits d'integració x=-2 i x=3 (per la regla de Barrow)

$integral subíndex menys 2 fi subíndex superíndex 3 x menys 1 espai d x igual obre claudàtors fracció x al quadrat entre 2 menys x tanca claudàtors subíndex menys 2 fi subíndex superíndex 3 igual fracció 9 entre 2 menys 3 menys parèntesi esquerre 2 més 2 parèntesi dret igual fracció 9 entre 2 menys 7 igual envoltori caixa espai menys fracció 5 entre 2 fi envoltori$

Ara comprovem aquest resultat amb el càlcul de la suma o resta d'àrèes

L e s espai à r e e s espai A subíndex 1 espai i espai A subíndex 2 espai c o r r e s p o n e n espai a espai t r i a n g l e s A subíndex 1 igual fracció numerador 3 per 3 entre denominador 2 fi fracció igual fracció 9 entre 2 A subíndex 2 igual fracció numerador 2 per 2 entre denominador 2 fi fracció igual 2 integral subíndex menys 2 fi subíndex superíndex 3 x menys 1 espai d x espai igual menys A subíndex 1 més A subíndex 2 igual menys fracció 9 entre 2 més 2 igual espai envoltori caixa menys fracció 5 entre 2 fi envoltori

Com trobar l'àrea compresa entre la gràfica d'una funció, l'eix OX i dues abscisses?

Per trobar una àrea compresa entre la gràfica d'una funció f(x), l'eix d'abscisses i les rectes x=a i x=b cal seguir els passos

1. Trobar els punts de tall de la gràfica de la funció amb l'eix d'abscisses resolent l'equació f(x)=0

2. Seleccionar d'entre els punts de tall obtinguts, aquells que es trobin en l'interval [a,b]. Imaginem que aquests són x₁, x₂ , x₃ i x₄

3. L'interval [a,b] queda dividit en altres intervals si col·loquem els valors anteriors : [a, x₁], [x₁, x₂], [x₂, x₃], [x₃, x₄] i [x₄, b]

4. Per a cada interval trobat hem d'esbrinar si la gràfica de la funció queda per sobre l'eix OX o per sota

5. En funció de si l'àrea obtinguda queda per sobre o per sota caldrà agafar la integral definida o canviar-li el signe.

Per exemple en el cas:

$À r e a espai t o t a l espai igual A subíndex 1 més A subíndex 2 més A subíndex 3 més A subíndex 4 més A subíndex 5 igual espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai menys integral subíndex a superíndex x subíndex 1 fi superíndex f parèntesi esquerre x parèntesi dret d x espai espai més espai integral subíndex x subíndex 1 fi subíndex superíndex x subíndex 2 fi superíndex f parèntesi esquerre x parèntesi dret d x espai més espai integral subíndex x subíndex 2 fi subíndex superíndex x subíndex 3 fi superíndex f parèntesi esquerre x parèntesi dret d x menys espai integral subíndex x subíndex 3 fi subíndex superíndex x subíndex 4 fi superíndex f parèntesi esquerre x parèntesi dret d x espai més espai integral subíndex x subíndex 4 fi subíndex superíndex b f parèntesi esquerre x parèntesi dret d x espai espai$

Exemple 1 :

Anem a trobar l'àrea compresa entre la gràfica de la funció $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x al cub menys 2 x al quadrat menys x més 2$ , l'eix d'abscisses i les rectes x = -2 i x = 1'5

1. $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 0 espai fletxa dreta x al cub menys 2 x al quadrat menys x més 2 igual 0 fletxa dreta x igual menys 1 coma espai x igual 1 espai i espai x igual 2 espai$

2. Dels valors obtinguts agafem els valors x = -1 i x = 1

3. L'interval [-2,1'5] queda dividit en 3 intervals: [-2,-1], [-1,1] i [1,1'5] i per tant tindrem 3 àrees també: $A subíndex 1 coma espai A subíndex 2 espai i espai A subíndex 3$

4. Per a cada interval trobat hem d'esbrinar si la gràfica de la funció queda per sobre l'eix OX o per sota. Per això busquem la imatge d'un valor de cada interval:

$f parèntesi esquerre menys 1 apòstrof 5 parèntesi dret igual menys 4 apòstrof 38 fletxa dreta f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai é s espai n e g a t i v a espai e n espai l apòstrof i n t e r v a l espai claudàtor esquerre menys 2 coma menys 1 claudàtor dret$
$f parèntesi esquerre menys 0 apòstrof 5 parèntesi dret igual 1 apòstrof 88 fletxa dreta f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai é s espai p o s i t i v a espai e n espai l apòstrof i n t e r v a l espai claudàtor esquerre menys 1 coma 1 claudàtor dret$
$f parèntesi esquerre 1 apòstrof 25 parèntesi dret igual menys 0 apòstrof 42 fletxa dreta f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai é s espai n e g a t i v a espai e n espai l apòstrof i n t e r v a l espai claudàtor esquerre 1 coma 1 apòstrof 5 claudàtor dret$

5. Calculem el valor de les diferents àrees i finalment les sumem: Per fer els càlculs el més exacte possible posarem 1,5= 3/2

$A subíndex 1 igual menys integral subíndex menys 2 fi subíndex superíndex menys 1 fi superíndex f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x igual menys integral subíndex menys 2 fi subíndex superíndex menys 1 fi superíndex obre parèntesis x al cub menys 2 x al quadrat menys x més 2 tanca parèntesis espai d x igual menys obre claudàtors fracció x elevat a 4 entre 4 menys 2 per fracció x al cub entre 3 menys fracció x al quadrat entre 2 més 2 x tanca claudàtors subíndex menys 2 fi subíndex superíndex menys 1 fi superíndex igual menys obre claudàtors 1 quart menys 2 per fracció numerador obre parèntesis menys 1 tanca parèntesis entre denominador 3 fi fracció menys 1 mig menys 2 menys obre parèntesis 4 menys 2 per fracció numerador parèntesi esquerre menys 8 parèntesi dret entre denominador 3 fi fracció menys 2 menys 4 tanca parèntesis tanca claudàtors igual fracció 59 entre 12 espai espai u n i t a t s al quadrat$

$A subíndex 2 igual integral subíndex menys 1 fi subíndex superíndex 1 f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x igual integral subíndex menys 1 fi subíndex superíndex 1 obre parèntesis x al cub menys 2 x al quadrat menys x més 2 tanca parèntesis espai d x igual obre claudàtors fracció x elevat a 4 entre 4 menys 2 per fracció x al cub entre 3 menys fracció x al quadrat entre 2 més 2 x tanca claudàtors subíndex menys 1 fi subíndex superíndex 1 igual obre claudàtors 1 quart menys 2 per 1 terç menys 1 mig més 2 menys obre parèntesis 1 quart menys 2 per fracció numerador parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret entre denominador 3 fi fracció menys 1 mig menys 2 tanca parèntesis tanca claudàtors igual fracció 8 entre 3 espai espai u n i t a t s al quadrat$

$A subíndex 3 igual menys integral subíndex 1 superíndex 1 coma 5 fi superíndex f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x igual menys integral subíndex 1 superíndex fracció 3 entre 2 fi superíndex obre parèntesis x al cub menys 2 x al quadrat menys x més 2 tanca parèntesis espai d x igual menys obre claudàtors fracció x elevat a 4 entre 4 menys 2 per fracció x al cub entre 3 menys fracció x al quadrat entre 2 més 2 x tanca claudàtors subíndex 1 superíndex fracció 3 entre 2 fi superíndex igual menys obre claudàtors fracció 81 entre 64 menys 2 per fracció 27 entre 24 menys fracció 9 entre 8 més 3 menys obre parèntesis 1 quart menys 2 per 1 terç menys 1 mig més 2 tanca parèntesis tanca claudàtors igual fracció 37 entre 192 espai espai u n i t a t s al quadrat$

$À r e a espai t o t a l igual A subíndex 1 més A subíndex 2 més A subíndex 3 igual menys integral subíndex menys 2 fi subíndex superíndex menys 1 fi superíndex f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x més integral subíndex menys 1 fi subíndex superíndex 11 f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x menys integral subíndex 1 superíndex 1 coma 5 fi superíndex f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x igual fracció 59 entre 12 més fracció 8 entre 3 espai més fracció 37 entre 192 igual envoltori caixa fracció 1493 entre 192 espai u al quadrat fi envoltori$

Exercici:

Calculeu l'àrea del recinte entre la corba $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x elevat a 4 menys x al quadrat$ i l'eix d'abscisses (eix OX)

Resolució:

Per trobar una àrea compresa entre la gràfica d'una funció f(x), i l'eix d'abscisses , cal seguir els passos

1. Trobar els punts de tall de la gràfica de la funció amb l'eix d'abscisses resolent l'equació f(x)=0

2. Suposem que els punts de tall corresponen a x₁, x₂ , x₃ i x₄

3. Els intervals on treballarem seran: [x₁, x₂], [x₂, x₃], [x₃, x₄]

4. Per a cada interval trobat hem d'esbrinar si la gràfica de la funció queda per sobre l'eix OX o per sota

5. En funció de si l'àrea obtinguda queda per sobre o per sota caldrà agafar la integral definida o canviar-li el signe.

Anem a trobar l'àrea compresa entre la gràfica de la funció $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x elevat a 4 menys x al quadrat$ , i l'eix d'abscisses.

1. $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 0 espai fletxa dreta x elevat a 4 menys x al quadrat igual 0 espai espai fletxa dreta envoltori caixa x igual menys 1 fi envoltori coma espai envoltori caixa x igual 1 fi envoltori espai i espai envoltori caixa x igual 0 fi envoltori$

2. Els 2 intervals, en els que treballarem són: [-1,0], [0,1] i per tant tindrem 2 àrees també: $A subíndex 1 coma espai A subíndex 2 espai$

3. Per a cada interval trobat hem d'esbrinar si la gràfica de la funció queda per sobre l'eix OX o per sota. Per això busquem la imatge d'un valor de cada interval:

f(-0,5) = negatiu --> f(x) és negativa en l'interval [-1,0)
f(0) = 0
f(0,5) = negatiu --> f(x) és negativa en l'interval (0,1]

Àrea = $y igual integral subíndex blanc superíndex blanc x elevat a 4 menys x al quadrat$

$A subíndex 1 igual integral subíndex menys 1 fi subíndex superíndex 0 obre parèntesis x elevat a 4 menys x al quadrat tanca parèntesis espai d x espai espai igual obre claudàtors fracció x elevat a 5 entre 5 menys fracció x al cub entre 3 tanca claudàtors subíndex menys 1 fi subíndex superíndex 0 igual obre claudàtors fracció 0 elevat a 5 entre 5 menys fracció 0 al cub entre 3 tanca claudàtors menys obre claudàtors fracció parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret elevat a 5 entre 5 menys fracció parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret al cub entre 3 tanca claudàtors igual fracció numerador menys 2 entre denominador 15 fi fracció$

Com és una àrea cal prendre el resultat en valor absolut. Per tant $A subíndex 1 igual fracció 2 entre 15$

$A subíndex 2 igual integral subíndex 0 superíndex 1 obre parèntesis x elevat a 4 menys x al quadrat tanca parèntesis espai d x espai espai igual obre claudàtors fracció x elevat a 5 entre 5 menys fracció x al cub entre 3 tanca claudàtors subíndex 0 superíndex 1 igual obre claudàtors fracció parèntesi esquerre 1 parèntesi dret elevat a 5 entre 5 menys fracció parèntesi esquerre 1 parèntesi dret al cub entre 3 tanca claudàtors menys obre claudàtors fracció 0 elevat a 5 entre 5 menys fracció 0 al cub entre 3 tanca claudàtors igual fracció numerador menys 2 entre denominador 15 fi fracció$

Com és una àrea cal prendre el resultat en valor absolut. Per tant

A subíndex 2 igual fracció 2 entre 15

espai À r e a espai t o t a l espai igual obre barra vertical A subíndex 1 tanca barra vertical més obre barra vertical A subíndex 2 tanca barra vertical igual espai fracció 2 entre 15 més fracció 2 entre 15 igual espai envoltori caixa fracció 4 entre 15 espai u elevat a 2 espai espai fi elevat fi envoltori

El primer pas que s'ha de fer és trobar els punts d'intersecció entre les dues corbes, resolent el sistema d'equacions:

$obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la y igual x al cub menys 3 x més 8 fi cel·la fila cel·la y igual menys 3 x fi cel·la fi taula tanca$

$x ³ menys 3 x més 8 espai igual espai menys 3 x x ³ més 8 espai igual 0 x ³ igual menys 8 x igual arrel cúbica de menys 8 fi arrel igual menys 2$

Àrea = [Àrea compresa entre les dues funcions i x=-3 i x=-2] + [Àrea compresa entre les dues funcions i x=-2 i x=0]

Recordant que un àrea ha de ser sempre positiva.

Aplicació en el medi ambient

S'anomena "cabal" a la velocitat que porta l'aigua d'un riu. En general, el cabal va en funció dels mesos de l'any. A l'hivern els rius porten més aigua que a l'estiu.

La quantitat d'aigua que passa per un riu durant un període de temps és igual a l'àrea compresa entre la corba , l'eix X i l'interval de temps corresponent.

En aquest exemple imaginem que el cabal de riu segueix aquesta funció:

$f parèntesi esquerre t parèntesi dret espai igual espai 3 espai més espai 2 espai per espai cos espai obre parèntesis fracció t entre 2 tanca parèntesis$

on :

$f parèntesi esquerre t parèntesi dret espai$ ve donat en milers de hectolitres per segon i

$t$ ve donat en mesos

Quina quantitat d'aigua passa pel riu durant 1 any?

Resposta:

La gràfica de la funció f(t) és aquesta:

Trobar el cabal del riu al llarg de tot l'any, significa calcular l'àrea sota aquesta corba. Per tant cal integrar la funció donada.

Cabal anual = $integral subíndex 0 superíndex 12 f parèntesi esquerre t parèntesi dret per d t espai igual espai integral subíndex 0 superíndex 12 obre parèntesis 3 espai més espai 2 espai per espai cos espai obre parèntesis fracció t entre 2 tanca parèntesis tanca parèntesis espai per d t espai$

a) Primer cal calcular la integral indefinida (sense tenir en compte els límits d'integració)

b) Després substituir la funció obtinguda en els límits d'integració

c) Restar els valors i veure si té sentit el resultat.

$integral f parèntesi esquerre t parèntesi dret per d t espai igual espai integral obre parèntesis 3 espai més espai 2 espai per espai cos espai obre parèntesis fracció t entre 2 tanca parèntesis tanca parèntesis espai per d t espai espai igual integral 3 per espai d t espai més integral 2 per espai espai c o s espai obre parèntesis fracció t entre 2 tanca parèntesis d t espai igual 3 t espai més espai 2 espai integral espai c o s espai obre parèntesis fracció t entre 2 tanca parèntesis d t igual igual 3 t espai més 2 per 2 per integral espai 1 mig c o s espai obre parèntesis fracció t entre 2 tanca parèntesis d t espai igual espai 3 t espai més espai 4 espai per sin espai obre parèntesis fracció t entre 2 tanca parèntesis$

c) Restem F(12)-F(0)

$integral subíndex 0 superíndex 12 f parèntesi esquerre t parèntesi dret per d t espai igual espai integral subíndex 0 superíndex 12 obre parèntesis 3 espai més espai 2 espai per espai cos espai obre parèntesis fracció t entre 2 tanca parèntesis tanca parèntesis espai per d t espai igual obre claudàtors 3 per 12 espai més espai 4 per espai sin espai fracció 12 entre 2 tanca claudàtors menys obre claudàtors 3 per 0 espai més espai 4 per espai s i n espai fracció 0 entre 2 tanca claudàtors igual igual 36 més 4 per sin parèntesi esquerre 6 parèntesi dret menys 0 menys 4 per sin parèntesi esquerre 0 parèntesi dret espai igual 36 espai més parèntesi esquerre menys 1.117 parèntesi dret igual 34.88 espai m i l e r s espai d e espai h l dividit per s u s a n t espai l a espai c a l c u l a d o r a coma espai i espai r e c o r d a n t espai q u e espai e l s espai a n g l e s espai e s tan espai e n espai " r a d " espai i espai n o espai e n espai g r a u s$

Per tal de tenir una idea de la quantitat d'aigua 34.88 milers de hl per segon = 34880 hl/s = 3 488 000 l/s (litres per cada segon, durant 1 any) Guau !

Exercici

Sigui la funció $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador sin parèntesi esquerre x parèntesi dret entre denominador cos al quadrat parèntesi esquerre x parèntesi dret fi fracció$ , calculeu:

a) La primitiva de la funció

f parèntesi esquerre x parèntesi dret

b) L'àrea limitada per la funció

f parèntesi esquerre x parèntesi dret

, l'eix de les abscisses i les rectes

x igual 0

x igual fracció normal pi entre 4

Recordeu els passos:

Integrar la funció, pel mètode que es trobi més oportú.
Aplicar la Regla de Barrow per calcular la integral definida.
Analitzar la coherència de la solució. Recordeu que les àrees no poden ser negatives i en aquests casos cal fer el valor absolut de la solució.

Resolució:

a) Aquesta integral es pot fer pel mètode del canvi de variable.

Podeu provar diversos canvis, però el que millor funciona és:

$t igual espai cos espai parèntesi esquerre x parèntesi dret d t espai igual espai menys sin espai parèntesi esquerre x parèntesi dret espai espai per espai d x espai fletxa doble dreta espai a ï l l e m espai d x espai espai espai espai espai espai fletxa doble dreta fracció numerador d t entre denominador menys sin espai parèntesi esquerre x parèntesi dret fi fracció igual d x$

Apliquem el canvi a la integral:

$integral fracció numerador sin parèntesi esquerre x parèntesi dret entre denominador cos al quadrat espai parèntesi esquerre x parèntesi dret fi fracció per d x espai igual espai integral fracció numerador ratllat diagonal cap amunt sin parèntesi esquerre x parèntesi dret fi ratllat entre denominador t espai al quadrat fi fracció per fracció numerador d t espai entre denominador menys ratllat diagonal cap amunt sin espai parèntesi esquerre x parèntesi dret fi ratllat fi fracció igual integral fracció numerador 1 entre denominador menys t espai al quadrat espai fi fracció per d t espai igual integral menys t espai elevat a menys 2 fi elevat per d t espai igual fracció numerador menys t elevat a menys 2 més 1 fi elevat entre denominador menys 2 més 1 fi fracció més C igual fracció numerador menys cos elevat a menys 1 fi elevat parèntesi esquerre x parèntesi dret entre denominador menys 1 fi fracció més C igual envoltori caixa fracció numerador 1 entre denominador cos parèntesi esquerre x parèntesi dret fi fracció més C fi envoltori$

b) La funció sin(x) i la funció cos²(x) són positives en l'interval $obre parèntesis 0 coma fracció normal pi entre 4 tanca parèntesis$ , per tant no talla l'eix OX, i per això l'àrea correspon a aquesta integral definida:

Error converting from MathML to accessible text.

Exercici 1.

Considereu les funcions: $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x al quadrat espai espai i espai espai espai espai g parèntesi esquerre x parèntesi dret igual espai fracció 1 entre x espai espai i espai l a espai r e c t a espai x igual e$

a) Feu un esbós de la regió limitada per les seves gràfiques i l'eix de les abscisses i la recta x=e=2,7. Calculeu el punt de tall entre les dues funcions.
b) Calculeu l'àrea de la regió descrita en l'apartat anterior.

Recordeu els passos:

Trobar els punts de tall entre les gràfiques de f(x) i g(x).
Integrar la funció f(x) i la funció g(x).
Aplicar la Regla de Barrow per calcular la integral definida entre els valors trobats.
Analitzar la coherència de la solució dins del context de l'enunciat.

a) L'esbós de la gràfica és:

Es calcula el punt de tall entre les dues funcions. En servirà per calcular l'àrea.

obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la y igual x al quadrat fi cel·la fila cel·la y igual fracció 1 entre x fi cel·la fi taula tanca espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai espai espai x al quadrat igual espai fracció 1 entre x espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai espai x al cub igual espai 1 espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai espai x igual espai 1 espai espai espai espai espai fletxa doble dreta P u n t espai d e espai t a l l espai parèntesi esquerre 1 coma 1 parèntesi dret

b) L'àrea és la suma de dues àrees:

À r e a igual integral subíndex 0 superíndex 1 f parèntesi esquerre x parèntesi dret per d x més integral subíndex 1 superíndex e g parèntesi esquerre x parèntesi dret per d x espai igual integral subíndex 0 superíndex 1 x al quadrat per d x més integral subíndex 1 superíndex e fracció 1 entre x per d x igual obre claudàtors fracció x al cub entre 3 tanca claudàtors subíndex 0 superíndex 1 més obre claudàtors espai L n espai parèntesi esquerre x parèntesi dret tanca claudàtors subíndex 1 superíndex e À r e a espai igual espai 1 terç més L n parèntesi esquerre e parèntesi dret menys L n parèntesi esquerre 1 parèntesi dret igual espai 1 terç més 1 igual envoltori caixa espai fracció 4 entre 3 u al quadrat fi envoltori

Conceptes bàsics Anàlisis II

Taula de continguts

Introducció a la integració

Concepte de integració.

La integració.

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

Taula integrals immediates

Taula d'integrals immediates

Integral indefinida. Primitives

Integral indefinida. Primitiva. Diferències entre els dos conceptes.

Propietats de les integrals

Com aplicar les propietats anteriors

Funcions que es poden reduïr a potències

Com puc fer més fàcil el càlcul d'algunes integrals?

Integració per canvi de variable.

Mètode integració per parts

Mètode d'integració per parts

Mètode

Com sabem en la integració per parts qui és u i qui dv

Integrals on hi ha un logaritme

Integrals definides

Càlcul d'integrals definides

Concepte d'integral definida

Càlcul d'àrees sota una corba

Exemple 2. Àrea sota una corba

Exemple 3. Integral definida

Càlcul àrea entre dos corbes

Càlcul àrea entre dos corbes. Exemple 2

Aplicacions en altres camps del coneixement

Dossier amb exercicis resolts

Exercicis PAU

Exercicis PAU