Previous
Next
Us proposem un exercici que va aparèixer en les proves de selectivitat de l'any 2018.


Sigui f left parenthesis x right parenthesis equals x cubed minus a x squared plus b x plus c

Calculeu els valors dels paràmetres: a, b i c  per tal que la funció f(x) compleixi aquests requisits:

  • Tingui un extrem relatiu en el punt d'abscissa x=1
  • La recta tangent a la funció f(x) en x=0 sigui la recta y equals x plus 3
Resolució:
S'ha de traduir les condicions del problema a equacions.
1a. condició.    f(x) ha de tenir un extrem relatiu en x= 1. Això vol dir que f '(1) =0
2a. condició.    La recta tangent a la funció en x=0 és la recta y equals x plus 3.   Aquí hi ha dues equacions amagades.  f '(0) =1  i  f(0) =3.
Aquí cal veure que el pendent de la recta tangent coincideix amb la derivada en el punt x=0. La recta tangent té pendent m=1 per tant f ' (0)=m=1. Per una altra banda si x=0 el valor de y en la recta és y=0+3=3, per tant el punt on coincideixen la recta tangent i la funció f(x) és en el punt (0,3)

Ara només queda resoldre el sistema format per aquestes tres equacions:

f left parenthesis x right parenthesis space equals x cubed minus a x squared plus b x plus c space rightwards double arrow space f space apostrophe left parenthesis x right parenthesis space equals 3 x squared minus 2 a x plus b open curly brackets table attributes columnalign left columnspacing 1.4ex end attributes row cell f space apostrophe left parenthesis 1 right parenthesis end cell cell equals 0 end cell row cell f space apostrophe left parenthesis 0 right parenthesis end cell cell equals 1 end cell row cell f left parenthesis 0 right parenthesis end cell cell equals 3 end cell end table close rightwards double arrow open curly brackets table attributes columnalign left columnspacing 1.4ex end attributes row cell f space apostrophe left parenthesis 1 right parenthesis end cell cell equals 3 left parenthesis 1 right parenthesis squared minus 2 a left parenthesis 1 right parenthesis plus b equals 0 end cell row cell f space apostrophe left parenthesis 0 right parenthesis end cell cell equals 3 left parenthesis 0 right parenthesis squared minus 2 a left parenthesis 0 right parenthesis plus b equals 1 end cell row cell f left parenthesis 0 right parenthesis end cell cell equals 0 cubed minus a times 0 squared plus b times 0 plus c equals 3 end cell end table close rightwards double arrow open curly brackets table attributes columnalign left columnspacing 1.4ex end attributes row cell 2 a minus b end cell cell equals 3 end cell row b cell equals 1 end cell row c cell equals 3 end cell end table close rightwards double arrow box enclose open curly brackets table attributes columnalign left left columnspacing 1.4ex 1.4ex end attributes row a cell equals 2 end cell row b cell equals 1 end cell row c cell equals 3 end cell end table close end enclose rightwards double arrow A q u e s t s space s ó n space e l s space v a l o r s space d e l s space p a r à m e t r e s

 

Previous
Next