Anterior
Siguiente

Exercici :

Trobeu les dimensions del rectangle inscrit en un cercle de radi 1m, que tingui l'àrea màxima.

Per tal de donar resposta us adjuntem la figura que il·lustra la situació.

També explicitem els passos a seguir:

  • a) Assigneu incògnites. En aquesta cas ja les hem explicitat en el gràfic.
  • b) Escriviu l'àrea del rectangle en funció de "x" i "y"
  • c) Escriviu la relació entre les incògnites x, y, usant el Teorema de Pitàgores.
  • d) Aïlleu "y" (es podria aïllar l'altra incògnita)
  • e) Escriviu ara, l'àrea del rectangle en funció de només la incògnita "x"
  • f) Calculeu el màxim, derivant la funció (d'una sola variable) obtinguda en l'apartat anterior.



Resolució:


a) x= alçada del rectangle  i   y= base del rectangle

b) Àrea del rectangle = x·y

c) Relació entre "x" "y" i la diagonal del cercle, tenint en compte que es pot aplicar el Teorema de Pitàgores, donat que la base, l'altura i la diagonal formen un triangle rectangle--> x al cuadrado más y al cuadrado igual 2 al cuadrado

d) y al cuadrado igual 4 menos x al cuadrado y igual raíz cuadrada de 4 menos x al cuadrado fin raíz

e) À r e a espacio r e c tan g l e igual espacio x por y espacio igual espacio x por espacio raíz cuadrada de 4 menos x al cuadrado fin raíz

f) A igual espacio x por espacio raíz cuadrada de 4 menos x al cuadrado fin raíz A apóstrofo espacio igual espacio 1 espacio por espacio raíz cuadrada de 4 menos x al cuadrado fin raíz espacio más espacio x espacio por espacio fracción numerador menos tachado diagonal hacia arriba 2 x entre denominador tachado diagonal hacia arriba 2 por raíz cuadrada de 4 menos x al cuadrado fin raíz fin fracción igual espacio espacio raíz cuadrada de 4 menos x al cuadrado fin raíz espacio menos espacio fracción numerador x al cuadrado entre denominador raíz cuadrada de 4 menos x al cuadrado fin raíz fin fracción C a l espacio r e s o l d r e espacio l apóstrofo e q u a c i ó espacio A apóstrofo igual 0 espacio raíz cuadrada de 4 menos x al cuadrado fin raíz espacio menos espacio fracción numerador x al cuadrado entre denominador raíz cuadrada de 4 menos x al cuadrado fin raíz fin fracción igual 0 espacio espacio espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio espacio espacio espacio raíz cuadrada de 4 menos x al cuadrado fin raíz espacio igual espacio fracción numerador x al cuadrado entre denominador raíz cuadrada de 4 menos x al cuadrado fin raíz fin fracción espacio espacio espacio flecha doble derecha paréntesis izquierdo raíz cuadrada de 4 menos x al cuadrado fin raíz espacio paréntesis derecho paréntesis izquierdo raíz cuadrada de 4 menos x al cuadrado fin raíz paréntesis derecho igual espacio x al cuadrado espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio espacio espacio 4 espacio menos x al cuadrado espacio igual espacio x al cuadrado espacio espacio flecha doble derecha espacio 4 igual espacio 2 x al cuadrado espacio espacio espacio flecha doble derecha x igual más-menos raíz cuadrada de 2 E l s espacio v a l o r espacio n e g a t i u espacio n o espacio e s espacio p o t espacio t e n i r espacio e n espacio c o m p t e espacio c o m espacio a espacio m e s u r a espacio d apóstrofo u n espacio cos t a t espacio d apóstrofo u n espacio r e c tan g l e


x igual raíz cuadrada de 2 A espacio p a r t i r espacio d apóstrofo a q u e s t espacio v a l o r espacio d e espacio " x " espacio c a l c u l e m espacio e l espacio v a l o r espacio d apóstrofo espacio " y " y igual raíz cuadrada de 4 menos x al cuadrado fin raíz espacio igual raíz cuadrada de 4 menos paréntesis izquierdo raíz cuadrada de 2 paréntesis derecho al cuadrado fin raíz igual raíz cuadrada de 4 menos 2 fin raíz igual raíz cuadrada de 2


Faltaria argumentar per què aquests valors corresponen a l'àrea màxima i no a l'àrea mínima.

Establirem intervals i estudiarem el signe de la derivada i el creixement de la funció per saber si "x" és màxim o mínim



valor x
paréntesis izquierdo 0 coma raíz cuadrada de 2 paréntesis derecho raíz cuadrada de 2
  paréntesis izquierdo raíz cuadrada de 2 coma más infinito paréntesis derecho
signe A '
A ' (1) = +
   A '(2) = -
creixement de
 la funció A
 creixent  màxim  decreixent

Per tant en x= raíz cuadrada de 2  la funció té un màxim

Solució : El rectangle d'àrea màxima que es pot inscriure en el cercle de radi 1, és un QUADRAT de costat raíz cuadrada de 2

Anterior
Siguiente