Previous
Next

Exercici :

Trobeu les dimensions del rectangle inscrit en un cercle de radi 1m, que tingui l'àrea màxima.

Per tal de donar resposta us adjuntem la figura que il·lustra la situació.

També explicitem els passos a seguir:

  • a) Assigneu incògnites. En aquesta cas ja les hem explicitat en el gràfic.
  • b) Escriviu l'àrea del rectangle en funció de "x" i "y"
  • c) Escriviu la relació entre les incògnites x, y, usant el Teorema de Pitàgores.
  • d) Aïlleu "y" (es podria aïllar l'altra incògnita)
  • e) Escriviu ara, l'àrea del rectangle en funció de només la incògnita "x"
  • f) Calculeu el màxim, derivant la funció (d'una sola variable) obtinguda en l'apartat anterior.



Resolució:


a) x= alçada del rectangle  i   y= base del rectangle

b) Àrea del rectangle = x·y

c) Relació entre "x" "y" i la diagonal del cercle, tenint en compte que es pot aplicar el Teorema de Pitàgores, donat que la base, l'altura i la diagonal formen un triangle rectangle--> x squared plus y squared equals 2 squared

d) y squared equals 4 minus x squared y equals square root of 4 minus x squared end root

e) À r e a space r e c tan g l e equals space x times y space equals space x times space square root of 4 minus x squared end root

f) A equals space x times space square root of 4 minus x squared end root A apostrophe space equals space 1 space times space square root of 4 minus x squared end root space plus space x space times space fraction numerator negative up diagonal strike 2 x over denominator up diagonal strike 2 times square root of 4 minus x squared end root end fraction equals space space square root of 4 minus x squared end root space minus space fraction numerator x squared over denominator square root of 4 minus x squared end root end fraction C a l space r e s o l d r e space l apostrophe e q u a c i ó space A apostrophe equals 0 space square root of 4 minus x squared end root space minus space fraction numerator x squared over denominator square root of 4 minus x squared end root end fraction equals 0 space space space space space rightwards double arrow space space space space space square root of 4 minus x squared end root space equals space fraction numerator x squared over denominator square root of 4 minus x squared end root end fraction space space space rightwards double arrow left parenthesis square root of 4 minus x squared end root space right parenthesis left parenthesis square root of 4 minus x squared end root right parenthesis equals space x squared space space space space space space space rightwards double arrow space space space space 4 space minus x squared space equals space x squared space space rightwards double arrow space 4 equals space 2 x squared space space space rightwards double arrow x equals plus-or-minus square root of 2 E l s space v a l o r space n e g a t i u space n o space e s space p o t space t e n i r space e n space c o m p t e space c o m space a space m e s u r a space d apostrophe u n space cos t a t space d apostrophe u n space r e c tan g l e


x equals square root of 2 A space p a r t i r space d apostrophe a q u e s t space v a l o r space d e space " x " space c a l c u l e m space e l space v a l o r space d apostrophe space " y " y equals square root of 4 minus x squared end root space equals square root of 4 minus left parenthesis square root of 2 right parenthesis squared end root equals square root of 4 minus 2 end root equals square root of 2


Faltaria argumentar per què aquests valors corresponen a l'àrea màxima i no a l'àrea mínima.

Establirem intervals i estudiarem el signe de la derivada i el creixement de la funció per saber si "x" és màxim o mínim



valor x
left parenthesis 0 comma square root of 2 right parenthesis square root of 2
  left parenthesis square root of 2 comma plus infinity right parenthesis
signe A '
A ' (1) = +
   A '(2) = -
creixement de
 la funció A
 creixent  màxim  decreixent

Per tant en x= square root of 2  la funció té un màxim

Solució : El rectangle d'àrea màxima que es pot inscriure en el cercle de radi 1, és un QUADRAT de costat square root of 2

Previous
Next