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Exercici :

Trobeu les dimensions del rectangle inscrit en un cercle de radi 1m, que tingui l'àrea màxima.

Per tal de donar resposta us adjuntem la figura que il·lustra la situació.

També explicitem els passos a seguir:

  • a) Assigneu incògnites. En aquesta cas ja les hem explicitat en el gràfic.
  • b) Escriviu l'àrea del rectangle en funció de "x" i "y"
  • c) Escriviu la relació entre les incògnites x, y, usant el Teorema de Pitàgores.
  • d) Aïlleu "y" (es podria aïllar l'altra incògnita)
  • e) Escriviu ara, l'àrea del rectangle en funció de només la incògnita "x"
  • f) Calculeu el màxim, derivant la funció (d'una sola variable) obtinguda en l'apartat anterior.



Resolució:


a) x= alçada del rectangle  i   y= base del rectangle

b) Àrea del rectangle = x·y

c) Relació entre "x" "y" i la diagonal del cercle, tenint en compte que es pot aplicar el Teorema de Pitàgores, donat que la base, l'altura i la diagonal formen un triangle rectangle--> x im Quadrat plus y im Quadrat gleich 2 im Quadrat

d) y im Quadrat gleich 4 minus x im Quadrat y gleich Quadratwurzel aus 4 minus x im Quadrat Wurzelende

e) À r e a Leerzeichen r e c tan g l e gleich Leerzeichen x mal y Leerzeichen gleich Leerzeichen x mal Leerzeichen Quadratwurzel aus 4 minus x im Quadrat Wurzelende

f) A gleich Leerzeichen x mal Leerzeichen Quadratwurzel aus 4 minus x im Quadrat Wurzelende A apostroph Leerzeichen gleich Leerzeichen 1 Leerzeichen mal Leerzeichen Quadratwurzel aus 4 minus x im Quadrat Wurzelende Leerzeichen plus Leerzeichen x Leerzeichen mal Leerzeichen Zähler minus aufwärtsdiagonal Strike 2 x geteilt durch Nenner aufwärtsdiagonal Strike 2 mal Quadratwurzel aus 4 minus x im Quadrat Wurzelende Bruchergebnis gleich Leerzeichen Leerzeichen Quadratwurzel aus 4 minus x im Quadrat Wurzelende Leerzeichen minus Leerzeichen Zähler x im Quadrat geteilt durch Nenner Quadratwurzel aus 4 minus x im Quadrat Wurzelende Bruchergebnis C a l Leerzeichen r e s o l d r e Leerzeichen l apostroph e q u a c i ó Leerzeichen A apostroph gleich 0 Leerzeichen Quadratwurzel aus 4 minus x im Quadrat Wurzelende Leerzeichen minus Leerzeichen Zähler x im Quadrat geteilt durch Nenner Quadratwurzel aus 4 minus x im Quadrat Wurzelende Bruchergebnis gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Quadratwurzel aus 4 minus x im Quadrat Wurzelende Leerzeichen gleich Leerzeichen Zähler x im Quadrat geteilt durch Nenner Quadratwurzel aus 4 minus x im Quadrat Wurzelende Bruchergebnis Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil linke klammer Quadratwurzel aus 4 minus x im Quadrat Wurzelende Leerzeichen rechte klammer linke klammer Quadratwurzel aus 4 minus x im Quadrat Wurzelende rechte klammer gleich Leerzeichen x im Quadrat Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen 4 Leerzeichen minus x im Quadrat Leerzeichen gleich Leerzeichen x im Quadrat Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen 4 gleich Leerzeichen 2 x im Quadrat Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil x gleich plusminus Quadratwurzel aus 2 E l s Leerzeichen v a l o r Leerzeichen n e g a t i u Leerzeichen n o Leerzeichen e s Leerzeichen p o t Leerzeichen t e n i r Leerzeichen e n Leerzeichen c o m p t e Leerzeichen c o m Leerzeichen a Leerzeichen m e s u r a Leerzeichen d apostroph u n Leerzeichen cos t a t Leerzeichen d apostroph u n Leerzeichen r e c tan g l e


x gleich Quadratwurzel aus 2 A Leerzeichen p a r t i r Leerzeichen d apostroph a q u e s t Leerzeichen v a l o r Leerzeichen d e Leerzeichen " x " Leerzeichen c a l c u l e m Leerzeichen e l Leerzeichen v a l o r Leerzeichen d apostroph Leerzeichen " y " y gleich Quadratwurzel aus 4 minus x im Quadrat Wurzelende Leerzeichen gleich Quadratwurzel aus 4 minus linke klammer Quadratwurzel aus 2 rechte klammer im Quadrat Wurzelende gleich Quadratwurzel aus 4 minus 2 Wurzelende gleich Quadratwurzel aus 2


Faltaria argumentar per què aquests valors corresponen a l'àrea màxima i no a l'àrea mínima.

Establirem intervals i estudiarem el signe de la derivada i el creixement de la funció per saber si "x" és màxim o mínim



valor x
linke klammer 0 Komma Quadratwurzel aus 2 rechte klammer Quadratwurzel aus 2
  linke klammer Quadratwurzel aus 2 Komma plus unendlichkeitszeichen rechte klammer
signe A '
A ' (1) = +
   A '(2) = -
creixement de
 la funció A
 creixent  màxim  decreixent

Per tant en x= Quadratwurzel aus 2  la funció té un màxim

Solució : El rectangle d'àrea màxima que es pot inscriure en el cercle de radi 1, és un QUADRAT de costat Quadratwurzel aus 2

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