Anterior
Següent

Exercici :

Trobeu les dimensions del rectangle inscrit en un cercle de radi 1m, que tingui l'àrea màxima.

Per tal de donar resposta us adjuntem la figura que il·lustra la situació.

També explicitem els passos a seguir:

  • a) Assigneu incògnites. En aquesta cas ja les hem explicitat en el gràfic.
  • b) Escriviu l'àrea del rectangle en funció de "x" i "y"
  • c) Escriviu la relació entre les incògnites x, y, usant el Teorema de Pitàgores.
  • d) Aïlleu "y" (es podria aïllar l'altra incògnita)
  • e) Escriviu ara, l'àrea del rectangle en funció de només la incògnita "x"
  • f) Calculeu el màxim, derivant la funció (d'una sola variable) obtinguda en l'apartat anterior.



Resolució:


a) x= alçada del rectangle  i   y= base del rectangle

b) Àrea del rectangle = x·y

c) Relació entre "x" "y" i la diagonal del cercle, tenint en compte que es pot aplicar el Teorema de Pitàgores, donat que la base, l'altura i la diagonal formen un triangle rectangle--> x al quadrat més y al quadrat igual 2 al quadrat

d) y al quadrat igual 4 menys x al quadrat y igual arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel

e) À r e a espai r e c tan g l e igual espai x per y espai igual espai x per espai arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel

f) A igual espai x per espai arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel A apòstrof espai igual espai 1 espai per espai arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel espai més espai x espai per espai fracció numerador menys ratllat diagonal cap amunt 2 x entre denominador ratllat diagonal cap amunt 2 per arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel fi fracció igual espai espai arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel espai menys espai fracció numerador x al quadrat entre denominador arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel fi fracció C a l espai r e s o l d r e espai l apòstrof e q u a c i ó espai A apòstrof igual 0 espai arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel espai menys espai fracció numerador x al quadrat entre denominador arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel fi fracció igual 0 espai espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai espai espai espai arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel espai igual espai fracció numerador x al quadrat entre denominador arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel fi fracció espai espai espai fletxa doble dreta parèntesi esquerre arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel espai parèntesi dret parèntesi esquerre arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel parèntesi dret igual espai x al quadrat espai espai espai espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai espai espai 4 espai menys x al quadrat espai igual espai x al quadrat espai espai fletxa doble dreta espai 4 igual espai 2 x al quadrat espai espai espai fletxa doble dreta x igual més-menys arrel quadrada de 2 E l s espai v a l o r espai n e g a t i u espai n o espai e s espai p o t espai t e n i r espai e n espai c o m p t e espai c o m espai a espai m e s u r a espai d apòstrof u n espai cos t a t espai d apòstrof u n espai r e c tan g l e


x igual arrel quadrada de 2 A espai p a r t i r espai d apòstrof a q u e s t espai v a l o r espai d e espai " x " espai c a l c u l e m espai e l espai v a l o r espai d apòstrof espai " y " y igual arrel quadrada de 4 menys x al quadrat fi arrel espai igual arrel quadrada de 4 menys parèntesi esquerre arrel quadrada de 2 parèntesi dret al quadrat fi arrel igual arrel quadrada de 4 menys 2 fi arrel igual arrel quadrada de 2


Faltaria argumentar per què aquests valors corresponen a l'àrea màxima i no a l'àrea mínima.

Establirem intervals i estudiarem el signe de la derivada i el creixement de la funció per saber si "x" és màxim o mínim



valor x
parèntesi esquerre 0 coma arrel quadrada de 2 parèntesi dret arrel quadrada de 2
  parèntesi esquerre arrel quadrada de 2 coma més infinit parèntesi dret
signe A '
A ' (1) = +
   A '(2) = -
creixement de
 la funció A
 creixent  màxim  decreixent

Per tant en x= arrel quadrada de 2  la funció té un màxim

Solució : El rectangle d'àrea màxima que es pot inscriure en el cercle de radi 1, és un QUADRAT de costat arrel quadrada de 2

Anterior
Següent