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Exercici 1.

Aquesta expressió   f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à 500 moins x au carré sur 8000  relaciona  x= nombre d'unitats venudes d'un producte, i f(x) el preu en euros de cada unitat.

Se sap que la fabricació té unes despeses fixes de 100 000 euros i unes despeses variables de 100 euros per unitat fabricada.
a) Trobeu la funció B(x) que expressi el benefici obtingut per la venda de "x" unitats. Els Beneficis s'obtenen de restar els ingressos menys les despeses.
b) Calculeu el nombre d'unitats que cal fabricar per obtenir el màxim de beneficis.
c) Quin és el preu per unitat òptim?



Recordeu els passos:

  • Identificar les variables del problema.
  • Escriure algebraicament la funció que s'ha d'optimitzar
  • Escriure algebraicament la relació entre les variables
  • Aïllar de la relació anterior una variable i substituir en la funció. Cal aconseguir que la funció sigui d'una única variable.
  • Trobar els extremes (màxims i mínims) de la funció, resolent l'equació f '(x) =0
  • Comprovar si són màxims o mínims
  • Analitzar la coherència de la solució dins del context de l'enunciat
  • Pas 1. Identificar les variables x=nombre d'unitats venudes d'un producte. Només hi ha una variable.
  • Pas 2. Escriure algebraicament la funció que s'ha d'optimitzar. Observeu que la funció f(x) no és la funció a optimitzar. S'ha d'optimitzar el benefici
B parenthèse gauche x parenthèse droite égal à I n g r e s s o s espace moins espace D e s p e s e s espace égal à x fois crochet ouvert 500 moins x au carré sur 8000 crochet fermé espace espace moins espace espace crochet ouvert 100000 plus 100 x crochet fermé
Els ingressos es calculen multiplicant les unitats pel preu de cada unitat
Les despeses són els  100000 euros més 100 euros per cada unitat fabricada

  • Pas 3 i Pas 4 no s'han de fer, ja que només hi ha una variable
  • Pas 5 Trobar els extrems de la funció B(x)
B parenthèse gauche x parenthèse droite égal à x fois crochet ouvert 500 moins x au carré sur 8000 crochet fermé espace espace moins espace espace crochet ouvert 100000 plus 100 x crochet fermé espace égal à espace 500 x moins x au cube sur 8000 moins 10000 moins 100 x égal à 400 x moins x au cube sur 8000 moins 10000 E s espace d e r i v a espace a q u e s t a espace f u n c i ó deux points B espace apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite égal à 400 moins numérateur de la fraction 3 x au carré au-dessus du dénominateur 8000 fin de la fraction S apostrophe i g u a l a espace a espace z e r o B espace apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite égal à 400 moins numérateur de la fraction 3 x au carré au-dessus du dénominateur 8000 fin de la fraction égal à 0 espace espace espace espace double flèche vers la droite espace espace espace 0 égal à 400 moins numérateur de la fraction 3 x au carré au-dessus du dénominateur 6000 fin de la fraction espace espace espace double flèche vers la droite espace espace espace moins 400 égal à moins numérateur de la fraction 3 x au carré au-dessus du dénominateur 8000 fin de la fraction espace espace espace double flèche vers la droite espace espace espace moins 3200000 égal à moins 3 x au carré espace espace double flèche vers la droite espace espace numérateur de la fraction espace 3200000 au-dessus du dénominateur 3 fin de la fraction égal à x au carré x égal à plus ou moins 1032 N o m é s espace l a espace s o l u c i ó espace p o s i t i v a espace t é espace s e n t i t

  • Pas 6 Comprovar si són és màxim o mínim. Podem usar la segona derivada.
B espace apostrophe apostrophe espace parenthèse gauche x parenthèse droite égal à numérateur de la fraction moins 6 x au-dessus du dénominateur 8000 fin de la fraction B espace apostrophe apostrophe parenthèse gauche 1032 parenthèse droite égal à numérateur de la fraction moins 6 parenthèse gauche 1032 parenthèse droite au-dessus du dénominateur 8000 fin de la fraction égal à moins espace p e r espace tan t espace é s espace m à x i m

  • Analitzem la coherència del resultat.  Encara que s'han obtingut dos resultats només el resultat positiu té sentit.

Resposta: S'ha obtingut que cal fabricar 1032 unitats del producte per tal que el benefici sigui màxim. I el preu per unitat serà    f parenthèse gauche 1032 parenthèse droite espace égal à parenthèse gauche 500 moins 1032 au carré sur 8000 parenthèse droite espace égal à 366 virgule 87 espace e u r o s


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