Anterior
Siguiente


Exercici 1.

Aquesta expressió   f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual 500 menos fracción x al cuadrado entre 8000  relaciona  x= nombre d'unitats venudes d'un producte, i f(x) el preu en euros de cada unitat.

Se sap que la fabricació té unes despeses fixes de 100 000 euros i unes despeses variables de 100 euros per unitat fabricada.
a) Trobeu la funció B(x) que expressi el benefici obtingut per la venda de "x" unitats. Els Beneficis s'obtenen de restar els ingressos menys les despeses.
b) Calculeu el nombre d'unitats que cal fabricar per obtenir el màxim de beneficis.
c) Quin és el preu per unitat òptim?



Recordeu els passos:

  • Identificar les variables del problema.
  • Escriure algebraicament la funció que s'ha d'optimitzar
  • Escriure algebraicament la relació entre les variables
  • Aïllar de la relació anterior una variable i substituir en la funció. Cal aconseguir que la funció sigui d'una única variable.
  • Trobar els extremes (màxims i mínims) de la funció, resolent l'equació f '(x) =0
  • Comprovar si són màxims o mínims
  • Analitzar la coherència de la solució dins del context de l'enunciat
  • Pas 1. Identificar les variables x=nombre d'unitats venudes d'un producte. Només hi ha una variable.
  • Pas 2. Escriure algebraicament la funció que s'ha d'optimitzar. Observeu que la funció f(x) no és la funció a optimitzar. S'ha d'optimitzar el benefici
B paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual I n g r e s s o s espacio menos espacio D e s p e s e s espacio igual x por abrir corchetes 500 menos fracción x al cuadrado entre 8000 cerrar corchetes espacio espacio menos espacio espacio abrir corchetes 100000 más 100 x cerrar corchetes
Els ingressos es calculen multiplicant les unitats pel preu de cada unitat
Les despeses són els  100000 euros més 100 euros per cada unitat fabricada

  • Pas 3 i Pas 4 no s'han de fer, ja que només hi ha una variable
  • Pas 5 Trobar els extrems de la funció B(x)
B paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual x por abrir corchetes 500 menos fracción x al cuadrado entre 8000 cerrar corchetes espacio espacio menos espacio espacio abrir corchetes 100000 más 100 x cerrar corchetes espacio igual espacio 500 x menos fracción x al cubo entre 8000 menos 10000 menos 100 x igual 400 x menos fracción x al cubo entre 8000 menos 10000 E s espacio d e r i v a espacio a q u e s t a espacio f u n c i ó dos puntos B espacio apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual 400 menos fracción numerador 3 x al cuadrado entre denominador 8000 fin fracción S apóstrofo i g u a l a espacio a espacio z e r o B espacio apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual 400 menos fracción numerador 3 x al cuadrado entre denominador 8000 fin fracción igual 0 espacio espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio espacio 0 igual 400 menos fracción numerador 3 x al cuadrado entre denominador 6000 fin fracción espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio espacio menos 400 igual menos fracción numerador 3 x al cuadrado entre denominador 8000 fin fracción espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio espacio menos 3200000 igual menos 3 x al cuadrado espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio fracción numerador espacio 3200000 entre denominador 3 fin fracción igual x al cuadrado x igual más-menos 1032 N o m é s espacio l a espacio s o l u c i ó espacio p o s i t i v a espacio t é espacio s e n t i t

  • Pas 6 Comprovar si són és màxim o mínim. Podem usar la segona derivada.
B espacio apóstrofo apóstrofo espacio paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual fracción numerador menos 6 x entre denominador 8000 fin fracción B espacio apóstrofo apóstrofo paréntesis izquierdo 1032 paréntesis derecho igual fracción numerador menos 6 paréntesis izquierdo 1032 paréntesis derecho entre denominador 8000 fin fracción igual menos espacio p e r espacio tan t espacio é s espacio m à x i m

  • Analitzem la coherència del resultat.  Encara que s'han obtingut dos resultats només el resultat positiu té sentit.

Resposta: S'ha obtingut que cal fabricar 1032 unitats del producte per tal que el benefici sigui màxim. I el preu per unitat serà    f paréntesis izquierdo 1032 paréntesis derecho espacio igual paréntesis izquierdo 500 menos fracción 1032 al cuadrado entre 8000 paréntesis derecho espacio igual 366 coma 87 espacio e u r o s


Anterior
Siguiente