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Exercici 1.

Aquesta expressió   f linke klammer x rechte klammer gleich 500 minus x im Quadrat geteilt durch 8000  relaciona  x= nombre d'unitats venudes d'un producte, i f(x) el preu en euros de cada unitat.

Se sap que la fabricació té unes despeses fixes de 100 000 euros i unes despeses variables de 100 euros per unitat fabricada.
a) Trobeu la funció B(x) que expressi el benefici obtingut per la venda de "x" unitats. Els Beneficis s'obtenen de restar els ingressos menys les despeses.
b) Calculeu el nombre d'unitats que cal fabricar per obtenir el màxim de beneficis.
c) Quin és el preu per unitat òptim?



Recordeu els passos:

  • Identificar les variables del problema.
  • Escriure algebraicament la funció que s'ha d'optimitzar
  • Escriure algebraicament la relació entre les variables
  • Aïllar de la relació anterior una variable i substituir en la funció. Cal aconseguir que la funció sigui d'una única variable.
  • Trobar els extremes (màxims i mínims) de la funció, resolent l'equació f '(x) =0
  • Comprovar si són màxims o mínims
  • Analitzar la coherència de la solució dins del context de l'enunciat
  • Pas 1. Identificar les variables x=nombre d'unitats venudes d'un producte. Només hi ha una variable.
  • Pas 2. Escriure algebraicament la funció que s'ha d'optimitzar. Observeu que la funció f(x) no és la funció a optimitzar. S'ha d'optimitzar el benefici
B linke klammer x rechte klammer gleich I n g r e s s o s Leerzeichen minus Leerzeichen D e s p e s e s Leerzeichen gleich x mal eckige Klammern öffnen 500 minus x im Quadrat geteilt durch 8000 eckige Klammern schließen Leerzeichen Leerzeichen minus Leerzeichen Leerzeichen eckige Klammern öffnen 100000 plus 100 x eckige Klammern schließen
Els ingressos es calculen multiplicant les unitats pel preu de cada unitat
Les despeses són els  100000 euros més 100 euros per cada unitat fabricada

  • Pas 3 i Pas 4 no s'han de fer, ja que només hi ha una variable
  • Pas 5 Trobar els extrems de la funció B(x)
B linke klammer x rechte klammer gleich x mal eckige Klammern öffnen 500 minus x im Quadrat geteilt durch 8000 eckige Klammern schließen Leerzeichen Leerzeichen minus Leerzeichen Leerzeichen eckige Klammern öffnen 100000 plus 100 x eckige Klammern schließen Leerzeichen gleich Leerzeichen 500 x minus x hoch drei geteilt durch 8000 minus 10000 minus 100 x gleich 400 x minus x hoch drei geteilt durch 8000 minus 10000 E s Leerzeichen d e r i v a Leerzeichen a q u e s t a Leerzeichen f u n c i ó Doppelpunkt B Leerzeichen apostroph linke klammer x rechte klammer gleich 400 minus Zähler 3 x im Quadrat geteilt durch Nenner 8000 Bruchergebnis S apostroph i g u a l a Leerzeichen a Leerzeichen z e r o B Leerzeichen apostroph linke klammer x rechte klammer gleich 400 minus Zähler 3 x im Quadrat geteilt durch Nenner 8000 Bruchergebnis gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen 0 gleich 400 minus Zähler 3 x im Quadrat geteilt durch Nenner 6000 Bruchergebnis Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen minus 400 gleich minus Zähler 3 x im Quadrat geteilt durch Nenner 8000 Bruchergebnis Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen minus 3200000 gleich minus 3 x im Quadrat Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen Zähler Leerzeichen 3200000 geteilt durch Nenner 3 Bruchergebnis gleich x im Quadrat x gleich plusminus 1032 N o m é s Leerzeichen l a Leerzeichen s o l u c i ó Leerzeichen p o s i t i v a Leerzeichen t é Leerzeichen s e n t i t

  • Pas 6 Comprovar si són és màxim o mínim. Podem usar la segona derivada.
B Leerzeichen apostroph apostroph Leerzeichen linke klammer x rechte klammer gleich Zähler minus 6 x geteilt durch Nenner 8000 Bruchergebnis B Leerzeichen apostroph apostroph linke klammer 1032 rechte klammer gleich Zähler minus 6 linke klammer 1032 rechte klammer geteilt durch Nenner 8000 Bruchergebnis gleich minus Leerzeichen p e r Leerzeichen tan t Leerzeichen é s Leerzeichen m à x i m

  • Analitzem la coherència del resultat.  Encara que s'han obtingut dos resultats només el resultat positiu té sentit.

Resposta: S'ha obtingut que cal fabricar 1032 unitats del producte per tal que el benefici sigui màxim. I el preu per unitat serà    f linke klammer 1032 rechte klammer Leerzeichen gleich linke klammer 500 minus 1032 im Quadrat geteilt durch 8000 rechte klammer Leerzeichen gleich 366 Komma 87 Leerzeichen e u r o s


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