Anterior
Següent


Exercici 1.

Aquesta expressió   f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 500 menys fracció x al quadrat entre 8000  relaciona  x= nombre d'unitats venudes d'un producte, i f(x) el preu en euros de cada unitat.

Se sap que la fabricació té unes despeses fixes de 100 000 euros i unes despeses variables de 100 euros per unitat fabricada.
a) Trobeu la funció B(x) que expressi el benefici obtingut per la venda de "x" unitats. Els Beneficis s'obtenen de restar els ingressos menys les despeses.
b) Calculeu el nombre d'unitats que cal fabricar per obtenir el màxim de beneficis.
c) Quin és el preu per unitat òptim?



Recordeu els passos:

  • Identificar les variables del problema.
  • Escriure algebraicament la funció que s'ha d'optimitzar
  • Escriure algebraicament la relació entre les variables
  • Aïllar de la relació anterior una variable i substituir en la funció. Cal aconseguir que la funció sigui d'una única variable.
  • Trobar els extremes (màxims i mínims) de la funció, resolent l'equació f '(x) =0
  • Comprovar si són màxims o mínims
  • Analitzar la coherència de la solució dins del context de l'enunciat
  • Pas 1. Identificar les variables x=nombre d'unitats venudes d'un producte. Només hi ha una variable.
  • Pas 2. Escriure algebraicament la funció que s'ha d'optimitzar. Observeu que la funció f(x) no és la funció a optimitzar. S'ha d'optimitzar el benefici
B parèntesi esquerre x parèntesi dret igual I n g r e s s o s espai menys espai D e s p e s e s espai igual x per obre claudàtors 500 menys fracció x al quadrat entre 8000 tanca claudàtors espai espai menys espai espai obre claudàtors 100000 més 100 x tanca claudàtors
Els ingressos es calculen multiplicant les unitats pel preu de cada unitat
Les despeses són els  100000 euros més 100 euros per cada unitat fabricada

  • Pas 3 i Pas 4 no s'han de fer, ja que només hi ha una variable
  • Pas 5 Trobar els extrems de la funció B(x)
B parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x per obre claudàtors 500 menys fracció x al quadrat entre 8000 tanca claudàtors espai espai menys espai espai obre claudàtors 100000 més 100 x tanca claudàtors espai igual espai 500 x menys fracció x al cub entre 8000 menys 10000 menys 100 x igual 400 x menys fracció x al cub entre 8000 menys 10000 E s espai d e r i v a espai a q u e s t a espai f u n c i ó dos punts B espai apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 400 menys fracció numerador 3 x al quadrat entre denominador 8000 fi fracció S apòstrof i g u a l a espai a espai z e r o B espai apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 400 menys fracció numerador 3 x al quadrat entre denominador 8000 fi fracció igual 0 espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai espai 0 igual 400 menys fracció numerador 3 x al quadrat entre denominador 6000 fi fracció espai espai espai fletxa doble dreta espai espai espai menys 400 igual menys fracció numerador 3 x al quadrat entre denominador 8000 fi fracció espai espai espai fletxa doble dreta espai espai espai menys 3200000 igual menys 3 x al quadrat espai espai fletxa doble dreta espai espai fracció numerador espai 3200000 entre denominador 3 fi fracció igual x al quadrat x igual més-menys 1032 N o m é s espai l a espai s o l u c i ó espai p o s i t i v a espai t é espai s e n t i t

  • Pas 6 Comprovar si són és màxim o mínim. Podem usar la segona derivada.
B espai apòstrof apòstrof espai parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador menys 6 x entre denominador 8000 fi fracció B espai apòstrof apòstrof parèntesi esquerre 1032 parèntesi dret igual fracció numerador menys 6 parèntesi esquerre 1032 parèntesi dret entre denominador 8000 fi fracció igual menys espai p e r espai tan t espai é s espai m à x i m

  • Analitzem la coherència del resultat.  Encara que s'han obtingut dos resultats només el resultat positiu té sentit.

Resposta: S'ha obtingut que cal fabricar 1032 unitats del producte per tal que el benefici sigui màxim. I el preu per unitat serà    f parèntesi esquerre 1032 parèntesi dret espai igual parèntesi esquerre 500 menys fracció 1032 al quadrat entre 8000 parèntesi dret espai igual 366 coma 87 espai e u r o s


Anterior
Següent