Conceptes bàsics Anàlisis II: Exemple 3

Les vendes anuals S d'un nou producte s'expressen segons aquesta fórmula: $S igual fracció numerador 5000 espai t al quadrat entre denominador 8 espai més espai t al quadrat fi fracció espai espai espai espai espai espai espai o n espai espai espai espai espai 0 menor o igual que t menor o igual que 3 espai espai espai espai espai espai espai espai i espai espai espai espai t igual e x p r e s s a t espai e n espai a n y s$

a) Completa la taula següent


x	0.5	1	1.5	2	2.5	3
S

b) En quin moment concret les vendes van ser les màximes?

Resposta

$S parèntesi esquerre 0 coma 5 parèntesi dret igual fracció numerador 5000 espai per parèntesi esquerre 0 coma 5 parèntesi dret al quadrat entre denominador 8 espai més espai parèntesi esquerre 0 coma 5 parèntesi dret al quadrat fi fracció espai espai espai espai igual espai 151 espai a r t i c l e s espai v e n u t s S parèntesi esquerre 1 parèntesi dret igual fracció numerador 5000 espai per parèntesi esquerre 1 parèntesi dret al quadrat entre denominador 8 espai més espai parèntesi esquerre 1 parèntesi dret al quadrat fi fracció espai espai espai espai igual espai 555 espai a r t i c l e s espai v e n u t s S parèntesi esquerre 1 coma 5 parèntesi dret igual fracció numerador 5000 espai per parèntesi esquerre 1 coma 5 parèntesi dret al quadrat entre denominador 8 espai més espai parèntesi esquerre 1 coma 5 parèntesi dret al quadrat fi fracció espai espai espai espai igual espai 1097 espai a r t i c l e s espai v e n u t s S parèntesi esquerre 2 parèntesi dret igual fracció numerador 5000 espai per parèntesi esquerre 2 parèntesi dret al quadrat entre denominador 8 espai més espai parèntesi esquerre 2 parèntesi dret al quadrat fi fracció espai espai espai espai igual espai 1666 espai a r t i c l e s espai v e n u t s S parèntesi esquerre 2 coma 5 parèntesi dret igual fracció numerador 5000 espai per parèntesi esquerre 2 coma 5 parèntesi dret al quadrat entre denominador 8 espai més espai parèntesi esquerre 2 coma 5 parèntesi dret al quadrat fi fracció espai espai espai espai igual espai 2192 espai a r t i c l e s espai v e n u t s S parèntesi esquerre 3 parèntesi dret igual fracció numerador 5000 espai per parèntesi esquerre 3 parèntesi dret al quadrat entre denominador 8 espai més espai parèntesi esquerre 3 parèntesi dret al quadrat fi fracció espai espai espai espai igual espai 2647 espai a r t i c l e s espai v e n u t s$

Ja es veu que a mida que va passant el temps, va creixent el nombre d'articles venuts. En l'interval [0,3] sembla que el màxim s'obtindrà en x=3

Estudiem la derivada per saber si hi ha un extrem en l'interval [0,3]. Si no hi ha cap extrem, vol dir que el mínim i màxim de la funció serà o en x=0 o en x=3

$S apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual espai fracció numerador obre parèntesis 10000 espai t espai tanca parèntesis per espai parèntesi esquerre 8 espai més espai t al quadrat parèntesi dret menys obre parèntesis 5000 espai t al quadrat tanca parèntesis per obre parèntesis 2 t tanca parèntesis entre denominador espai parèntesi esquerre 8 espai més espai t al quadrat parèntesi dret al quadrat fi fracció igual fracció numerador 80000 espai t més 10000 espai t al cub menys 10000 espai t al cub entre denominador espai parèntesi esquerre 8 espai més espai t al quadrat parèntesi dret al quadrat fi fracció S apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual fracció numerador 80000 espai t entre denominador espai parèntesi esquerre 8 espai més espai t al quadrat parèntesi dret al quadrat fi fracció S apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 0 fracció numerador 80000 espai t entre denominador espai parèntesi esquerre 8 espai més espai t al quadrat parèntesi dret al quadrat fi fracció igual 0 fletxa doble dreta t igual 0$

Veiem que si hi ha un extrem (màxim o mínim) relatiu ha d'estar en x=0

S(0) = 0 articles. Correspon al mínim

El màxim per tant està en x=3.

Propietat intel·lectual i drets d'autoria