Conceptes bàsics Anàlisis II: Exemple 2

Exemple 2

De tots els triangles rectangles d'hipotenusa 10 cm , trobeu la longitud dels catets del triangle que té perímetre màxim. Comproveu que la solució trobada correspon realment al de perímetre màxim.

Identificar les variables del problema.

x= catet (base del triangle) y= catet (altura del triangle)

Escriure algebraicament la funció que s'ha d'optimitzar

Perímetre màxim. Per tant la funció a maximitzar és el perímetre.

P = Perímetre = Suma de tots els costats = x+ y +10

Escriure algebraicament la relació entre les variables

La relació entre les variables és el Teorema de Pitàgores: x²+ y² = 10²

Aïllar de la relació anterior una variable i substituir en la funció. Cal aconseguir que la funció sigui d'una única variable.

$y igual arrel quadrada de 10 al quadrat menys x al quadrat fi arrel$

$P igual x espai més espai arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel espai més 10$

Trobar els extremes (màxims i mínims) de la funció, resolent l'equació f '(x) =0

Cal derivar la funció P(x) d'una variable

$P espai apòstrof espai parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual espai 1 espai més espai fracció numerador menys 2 x entre denominador 2 per arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel fi fracció espai més espai 0 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai espai espai espai P espai apòstrof espai parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual espai 1 espai menys espai fracció numerador ratllat diagonal cap amunt 2 x entre denominador ratllat diagonal cap amunt 2 per arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel fi fracció espai P espai apòstrof espai parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual espai 1 espai menys espai fracció numerador x entre denominador arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel fi fracció espai igual 0 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai espai espai espai espai 1 igual espai fracció numerador x entre denominador arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel fi fracció arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel espai igual espai x espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fletxa doble dreta espai E l e v a n t espai a l espai q u a d r a t espai dos punts espai espai espai obre parèntesis arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel tanca parèntesis al quadrat espai igual obre parèntesis x tanca parèntesis al quadrat 100 menys x al quadrat espai igual espai x al quadrat espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fletxa doble dreta espai 2 per x al quadrat espai igual espai 100 espai espai$

$x igual espai més-menys arrel quadrada de 50 igual més-menys 5 arrel quadrada de 2 igual asimptòtic més-menys 7.07 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai y igual més-menys arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel igual més-menys arrel quadrada de 50 igual asimptòtic més-menys 7.07$

Comprovar si són màxims o mínims

Els valors negatius no els tindrem en compte donat que no poden correspondre a la mida dels catets d'un triangle rectangle.

$f espai apòstrof apòstrof espai parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual 0 menys fracció numerador 1 espai per espai arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel menys espai x espai per espai estil mostrar fracció numerador menys 2 x entre denominador 2 arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel fi fracció fi estil entre denominador obre parèntesis arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel tanca parèntesis al quadrat fi fracció f espai apòstrof apòstrof espai parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual menys fracció numerador espai arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel més espai estil mostrar fracció numerador ratllat diagonal cap amunt 2 x al quadrat entre denominador ratllat diagonal cap amunt 2 arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel fi fracció fi estil entre denominador obre parèntesis arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel tanca parèntesis al quadrat fi fracció espai igual fracció numerador espai arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel més espai estil mostrar fracció numerador x al quadrat entre denominador arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel fi fracció fi estil entre denominador 100 menys x al quadrat fi fracció H e m espai d apòstrof e s t u d i a r espai e l espai s i g n e espai d e espai f espai apòstrof apòstrof espai parèntesi esquerre 7 coma 07 parèntesi dret espai igual menys fracció numerador espai arrel quadrada de 100 menys 50 fi arrel més espai estil mostrar fracció numerador 50 entre denominador arrel quadrada de 100 menys 50 fi arrel fi fracció fi estil entre denominador 100 menys 50 fi fracció igual menys fracció numerador espai arrel quadrada de 50 més espai estil mostrar fracció numerador 50 entre denominador arrel quadrada de 50 fi fracció fi estil entre denominador 50 fi fracció espai menor que 0 P e r espai tan t espai e n espai x igual 7 coma 07 espai l a espai f u n c i ó espai t é espai u n espai m à x i m.$

Analitzar la coherència de la solució dins dels context de l'enunciat

El resultats $x igual espai més-menys arrel quadrada de 50 igual més-menys 5 arrel quadrada de 2 igual asimptòtic més-menys 7.07 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai y igual més-menys arrel quadrada de 100 menys x al quadrat fi arrel igual més-menys arrel quadrada de 50 igual asimptòtic més-menys 7.07$

tenen sentit en el context del problema. Observeu que el triangle de màxim perímetre és el triangle isòsceles, que té el dos catets iguals.

Propietat intel·lectual i drets d'autoria