Conceptes bàsics Anàlisis II
Optimitzar és trobar el màxim o el mínim d'una funció sotmesa a certes condicions imposades.
Per resoldre un problema d'optimització seguirem aquests passos:
- Identificar les variables del problema.
- Escriure algebraicament la funció que s'ha d'optimitzar
- Escriure algebraicament la relació entre les variables
- Aïllar de la relació anterior una variable i substituir en la funció. Cal aconseguir que la funció sigui d'una única variable.
- Trobar els extremes (màxims i mínims) de la funció, resolent l'equació f '(x) =0
- Comprovar si són màxims o mínims
- Analitzar la coherència de la solució dins del context de l'enunciat
Exemple 1
Aquest dipòsit en forma d'ortoedre, té un volum de 72 m3 i la llargada (a) és el doble que l'amplada (c). Deduir les dimensions del dipòsit per tal que la superfície sigui mínima
- Identificar les variables del problema.
a= llarg
b= ample
c= altura
- Escriure algebraicament la funció que s'ha d'optimitzar
Àrea(A)= 2 bases + 4 cares laterals = a·c + a·c + b·c + b·c +a·b +a·b = 2·a·c + 2·b·c + 2·a·b
- Escriure algebraicament la relació entre les variables
V=llarg·ample·altura = a·b·c
72 = a·b·c
A més la llargada (a) és el doble que l'amplada (c)
a = 2·c
De les dues equacions obtenim :
72 = 2c·b·c = 2bc2
null
- Aïllar de la relació anterior una variable i substituir en la funció.
A = 2·a·c + 2·b·c + 2·a·b = 2·(2c)·c + 2·b·c + 2·(2c)·b =4c2 + 2·b·c + 4bc =4c2 + 6·b·c
- Trobar els extremes (màxims i mínims) de la funció, resolent l'equació f '(x) =0
- Comprovar si són màxims o mínims
Es pot comprovar de dos formes.
En aquest exercici comprovarem en la segona derivada.
Si f ''(punt) >0 ---> el punt és mínim
Si f ''(punt) <0 ---> el punt és màxim
En el nostre cas, calcularem la segona derivada
Per tant en c= 3 la funció presenta un mínim
- Analitza
El resultat té sentit ja que hem obtingut un ortoedre de dimensions c= 3 cm, a=6 cm i b=36/c2= 36/9 =4 cm