Anterior
Següent

Exercicis PAU

Exercici 

Sigui la funció   f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador sin parèntesi esquerre x parèntesi dret entre denominador cos al quadrat parèntesi esquerre x parèntesi dret fi fracció , calculeu:

a) La primitiva de la funció f parèntesi esquerre x parèntesi dret
b) L'àrea limitada per la funció f parèntesi esquerre x parèntesi dret, l'eix de les abscisses i les rectes  x igual 0 i x igual fracció normal pi entre 4.


Recordeu els passos:

  • Integrar la funció, pel mètode que es trobi més oportú.
  • Aplicar la Regla de Barrow per calcular la integral definida.
  • Analitzar la coherència de la solució. Recordeu que les àrees no poden ser negatives i en aquests casos cal fer el valor absolut de la solució.

Resolució:

a) Aquesta integral es pot fer pel mètode del canvi de variable.

Podeu provar diversos canvis, però el que millor funciona és:

 t igual espai cos espai parèntesi esquerre x parèntesi dret d t espai igual espai menys sin espai parèntesi esquerre x parèntesi dret espai espai per espai d x espai fletxa doble dreta espai a ï l l e m espai d x espai espai espai espai espai espai fletxa doble dreta fracció numerador d t entre denominador menys sin espai parèntesi esquerre x parèntesi dret fi fracció igual d x

Apliquem el canvi a la integral:

integral fracció numerador sin parèntesi esquerre x parèntesi dret entre denominador cos al quadrat espai parèntesi esquerre x parèntesi dret fi fracció per d x espai igual espai integral fracció numerador ratllat diagonal cap amunt sin parèntesi esquerre x parèntesi dret fi ratllat entre denominador t espai al quadrat fi fracció per fracció numerador d t espai entre denominador menys ratllat diagonal cap amunt sin espai parèntesi esquerre x parèntesi dret fi ratllat fi fracció igual integral fracció numerador 1 entre denominador menys t espai al quadrat espai fi fracció per d t espai igual integral menys t espai elevat a menys 2 fi elevat per d t espai igual fracció numerador menys t elevat a menys 2 més 1 fi elevat entre denominador menys 2 més 1 fi fracció més C igual fracció numerador menys cos elevat a menys 1 fi elevat parèntesi esquerre x parèntesi dret entre denominador menys 1 fi fracció més C igual envoltori caixa fracció numerador 1 entre denominador cos parèntesi esquerre x parèntesi dret fi fracció més C fi envoltori


b) La funció sin(x) i la funció cos2(x) són positives en l'interval obre parèntesis 0 coma fracció normal pi entre 4 tanca parèntesis, per tant no talla l'eix OX, i per això l'àrea correspon a aquesta integral definida:


Error converting from MathML to accessible text.

Anterior
Següent