Conceptes bàsics Anàlisis II: Exemple 2. Àrea sota una corba

Exercici:

Calculeu l'àrea del recinte entre la corba $f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à x puissance 4 moins x au carré$ i l'eix d'abscisses (eix OX)

Resolució:

Per trobar una àrea compresa entre la gràfica d'una funció f(x), i l'eix d'abscisses , cal seguir els passos

1. Trobar els punts de tall de la gràfica de la funció amb l'eix d'abscisses resolent l'equació f(x)=0

2. Suposem que els punts de tall corresponen a x₁, x₂ , x₃ i x₄

3. Els intervals on treballarem seran: [x₁, x₂], [x₂, x₃], [x₃, x₄]

4. Per a cada interval trobat hem d'esbrinar si la gràfica de la funció queda per sobre l'eix OX o per sota

5. En funció de si l'àrea obtinguda queda per sobre o per sota caldrà agafar la integral definida o canviar-li el signe.

Anem a trobar l'àrea compresa entre la gràfica de la funció $f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à x puissance 4 moins x au carré$ , i l'eix d'abscisses.

1. $f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à 0 espace flèche vers la droite x puissance 4 moins x au carré égal à 0 espace espace flèche vers la droite cadre englobant x égal à moins 1 fin virgule espace cadre englobant x égal à 1 fin espace i espace cadre englobant x égal à 0 fin$

2. Els 2 intervals, en els que treballarem són: [-1,0], [0,1] i per tant tindrem 2 àrees també: $A indice 1 virgule espace A indice 2 espace$

3. Per a cada interval trobat hem d'esbrinar si la gràfica de la funció queda per sobre l'eix OX o per sota. Per això busquem la imatge d'un valor de cada interval:

f(-0,5) = negatiu --> f(x) és negativa en l'interval [-1,0)
f(0) = 0
f(0,5) = negatiu --> f(x) és negativa en l'interval (0,1]

Àrea = $y égal à intégrale indice blanc exposant blanc x puissance 4 moins x au carré$

$A indice 1 égal à intégrale indice moins 1 fin d'indice exposant 0 ouvrir la parenthèse x puissance 4 moins x au carré fermer la parenthèse espace d x espace espace égal à crochet ouvert x puissance 5 sur 5 moins x au cube sur 3 crochet fermé indice moins 1 fin d'indice exposant 0 égal à crochet ouvert 0 puissance 5 sur 5 moins 0 au cube sur 3 crochet fermé moins crochet ouvert parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite puissance 5 sur 5 moins parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite au cube sur 3 crochet fermé égal à numérateur de la fraction moins 2 au-dessus du dénominateur 15 fin de la fraction$

Com és una àrea cal prendre el resultat en valor absolut. Per tant $A indice 1 égal à 2 sur 15$

$A indice 2 égal à intégrale indice 0 exposant 1 ouvrir la parenthèse x puissance 4 moins x au carré fermer la parenthèse espace d x espace espace égal à crochet ouvert x puissance 5 sur 5 moins x au cube sur 3 crochet fermé indice 0 exposant 1 égal à crochet ouvert parenthèse gauche 1 parenthèse droite puissance 5 sur 5 moins parenthèse gauche 1 parenthèse droite au cube sur 3 crochet fermé moins crochet ouvert 0 puissance 5 sur 5 moins 0 au cube sur 3 crochet fermé égal à numérateur de la fraction moins 2 au-dessus du dénominateur 15 fin de la fraction$

Com és una àrea cal prendre el resultat en valor absolut. Per tant

A indice 2 égal à 2 sur 15

espace À r e a espace t o t a l espace égal à trait vertical ouvert(e) A indice 1 trait vertical fermé(e) plus trait vertical ouvert(e) A indice 2 trait vertical fermé(e) égal à espace 2 sur 15 plus 2 sur 15 égal à espace cadre englobant 4 sur 15 espace u puissance 2 espace espace fin de l'exposant fin

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Exemple 2. Àrea sota una corba