Conceptes bàsics Anàlisis II: Exemple 2. Àrea sota una corba

Exercici:

Calculeu l'àrea del recinte entre la corba $f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual x elevado a 4 menos x al cuadrado$ i l'eix d'abscisses (eix OX)

Resolució:

Per trobar una àrea compresa entre la gràfica d'una funció f(x), i l'eix d'abscisses , cal seguir els passos

1. Trobar els punts de tall de la gràfica de la funció amb l'eix d'abscisses resolent l'equació f(x)=0

2. Suposem que els punts de tall corresponen a x₁, x₂ , x₃ i x₄

3. Els intervals on treballarem seran: [x₁, x₂], [x₂, x₃], [x₃, x₄]

4. Per a cada interval trobat hem d'esbrinar si la gràfica de la funció queda per sobre l'eix OX o per sota

5. En funció de si l'àrea obtinguda queda per sobre o per sota caldrà agafar la integral definida o canviar-li el signe.

Anem a trobar l'àrea compresa entre la gràfica de la funció $f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual x elevado a 4 menos x al cuadrado$ , i l'eix d'abscisses.

1. $f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual 0 espacio flecha derecha x elevado a 4 menos x al cuadrado igual 0 espacio espacio flecha derecha envoltorio caja x igual menos 1 fin envoltorio coma espacio envoltorio caja x igual 1 fin envoltorio espacio i espacio envoltorio caja x igual 0 fin envoltorio$

2. Els 2 intervals, en els que treballarem són: [-1,0], [0,1] i per tant tindrem 2 àrees també: $A subíndice 1 coma espacio A subíndice 2 espacio$

3. Per a cada interval trobat hem d'esbrinar si la gràfica de la funció queda per sobre l'eix OX o per sota. Per això busquem la imatge d'un valor de cada interval:

f(-0,5) = negatiu --> f(x) és negativa en l'interval [-1,0)
f(0) = 0
f(0,5) = negatiu --> f(x) és negativa en l'interval (0,1]

Àrea = $y igual integral subíndice blanco superíndice blanco x elevado a 4 menos x al cuadrado$

$A subíndice 1 igual integral subíndice menos 1 fin subíndice superíndice 0 abrir paréntesis x elevado a 4 menos x al cuadrado cerrar paréntesis espacio d x espacio espacio igual abrir corchetes fracción x elevado a 5 entre 5 menos fracción x al cubo entre 3 cerrar corchetes subíndice menos 1 fin subíndice superíndice 0 igual abrir corchetes fracción 0 elevado a 5 entre 5 menos fracción 0 al cubo entre 3 cerrar corchetes menos abrir corchetes fracción paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho elevado a 5 entre 5 menos fracción paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho al cubo entre 3 cerrar corchetes igual fracción numerador menos 2 entre denominador 15 fin fracción$

Com és una àrea cal prendre el resultat en valor absolut. Per tant $A subíndice 1 igual fracción 2 entre 15$

$A subíndice 2 igual integral subíndice 0 superíndice 1 abrir paréntesis x elevado a 4 menos x al cuadrado cerrar paréntesis espacio d x espacio espacio igual abrir corchetes fracción x elevado a 5 entre 5 menos fracción x al cubo entre 3 cerrar corchetes subíndice 0 superíndice 1 igual abrir corchetes fracción paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho elevado a 5 entre 5 menos fracción paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho al cubo entre 3 cerrar corchetes menos abrir corchetes fracción 0 elevado a 5 entre 5 menos fracción 0 al cubo entre 3 cerrar corchetes igual fracción numerador menos 2 entre denominador 15 fin fracción$

Com és una àrea cal prendre el resultat en valor absolut. Per tant

A subíndice 2 igual fracción 2 entre 15

espacio À r e a espacio t o t a l espacio igual abrir barra vertical A subíndice 1 cerrar barra vertical más abrir barra vertical A subíndice 2 cerrar barra vertical igual espacio fracción 2 entre 15 más fracción 2 entre 15 igual espacio envoltorio caja fracción 4 entre 15 espacio u elevado a 2 espacio espacio fin elevado fin envoltorio

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

Exemple 2. Àrea sota una corba