Conceptes bàsics Anàlisis II: Exemple 2. Àrea sota una corba

Exercici:

Calculeu l'àrea del recinte entre la corba $f left parenthesis x right parenthesis equals x to the power of 4 minus x squared$ i l'eix d'abscisses (eix OX)

Resolució:

Per trobar una àrea compresa entre la gràfica d'una funció f(x), i l'eix d'abscisses , cal seguir els passos

1. Trobar els punts de tall de la gràfica de la funció amb l'eix d'abscisses resolent l'equació f(x)=0

2. Suposem que els punts de tall corresponen a x₁, x₂ , x₃ i x₄

3. Els intervals on treballarem seran: [x₁, x₂], [x₂, x₃], [x₃, x₄]

4. Per a cada interval trobat hem d'esbrinar si la gràfica de la funció queda per sobre l'eix OX o per sota

5. En funció de si l'àrea obtinguda queda per sobre o per sota caldrà agafar la integral definida o canviar-li el signe.

Anem a trobar l'àrea compresa entre la gràfica de la funció $f left parenthesis x right parenthesis equals x to the power of 4 minus x squared$ , i l'eix d'abscisses.

1. $f left parenthesis x right parenthesis equals 0 space rightwards arrow x to the power of 4 minus x squared equals 0 space space rightwards arrow box enclose x equals negative 1 end enclose comma space box enclose x equals 1 end enclose space i space box enclose x equals 0 end enclose$

2. Els 2 intervals, en els que treballarem són: [-1,0], [0,1] i per tant tindrem 2 àrees també: $A subscript 1 comma space A subscript 2 space$

3. Per a cada interval trobat hem d'esbrinar si la gràfica de la funció queda per sobre l'eix OX o per sota. Per això busquem la imatge d'un valor de cada interval:

f(-0,5) = negatiu --> f(x) és negativa en l'interval [-1,0)
f(0) = 0
f(0,5) = negatiu --> f(x) és negativa en l'interval (0,1]

Àrea = $y equals integral subscript blank superscript blank x to the power of 4 minus x squared$

$A subscript 1 equals integral subscript negative 1 end subscript superscript 0 open parentheses x to the power of 4 minus x squared close parentheses space d x space space equals open square brackets x to the power of 5 over 5 minus x cubed over 3 close square brackets subscript negative 1 end subscript superscript 0 equals open square brackets 0 to the power of 5 over 5 minus 0 cubed over 3 close square brackets minus open square brackets left parenthesis negative 1 right parenthesis to the power of 5 over 5 minus left parenthesis negative 1 right parenthesis cubed over 3 close square brackets equals fraction numerator negative 2 over denominator 15 end fraction$

Com és una àrea cal prendre el resultat en valor absolut. Per tant $A subscript 1 equals 2 over 15$

$A subscript 2 equals integral subscript 0 superscript 1 open parentheses x to the power of 4 minus x squared close parentheses space d x space space equals open square brackets x to the power of 5 over 5 minus x cubed over 3 close square brackets subscript 0 superscript 1 equals open square brackets left parenthesis 1 right parenthesis to the power of 5 over 5 minus left parenthesis 1 right parenthesis cubed over 3 close square brackets minus open square brackets 0 to the power of 5 over 5 minus 0 cubed over 3 close square brackets equals fraction numerator negative 2 over denominator 15 end fraction$

Com és una àrea cal prendre el resultat en valor absolut. Per tant

A subscript 2 equals 2 over 15

space À r e a space t o t a l space equals open vertical bar A subscript 1 close vertical bar plus open vertical bar A subscript 2 close vertical bar equals space 2 over 15 plus 2 over 15 equals space box enclose 4 over 15 space u to the power of 2 space space end exponent end enclose

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

Exemple 2. Àrea sota una corba