Conceptes bàsics Anàlisis II: Exemple 2. Àrea sota una corba

Exercici:

Calculeu l'àrea del recinte entre la corba $f linke klammer x rechte klammer gleich x hoch 4 minus x im Quadrat$ i l'eix d'abscisses (eix OX)

Resolució:

Per trobar una àrea compresa entre la gràfica d'una funció f(x), i l'eix d'abscisses , cal seguir els passos

1. Trobar els punts de tall de la gràfica de la funció amb l'eix d'abscisses resolent l'equació f(x)=0

2. Suposem que els punts de tall corresponen a x₁, x₂ , x₃ i x₄

3. Els intervals on treballarem seran: [x₁, x₂], [x₂, x₃], [x₃, x₄]

4. Per a cada interval trobat hem d'esbrinar si la gràfica de la funció queda per sobre l'eix OX o per sota

5. En funció de si l'àrea obtinguda queda per sobre o per sota caldrà agafar la integral definida o canviar-li el signe.

Anem a trobar l'àrea compresa entre la gràfica de la funció $f linke klammer x rechte klammer gleich x hoch 4 minus x im Quadrat$ , i l'eix d'abscisses.

1. $f linke klammer x rechte klammer gleich 0 Leerzeichen rechtspfeil x hoch 4 minus x im Quadrat gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen rechtspfeil Feld eingeschlossen x gleich minus 1 Ende Komma Leerzeichen Feld eingeschlossen x gleich 1 Ende Leerzeichen i Leerzeichen Feld eingeschlossen x gleich 0 Ende$

2. Els 2 intervals, en els que treballarem són: [-1,0], [0,1] i per tant tindrem 2 àrees també: $A unterer Index 1 Komma Leerzeichen A unterer Index 2 Leerzeichen$

3. Per a cada interval trobat hem d'esbrinar si la gràfica de la funció queda per sobre l'eix OX o per sota. Per això busquem la imatge d'un valor de cada interval:

f(-0,5) = negatiu --> f(x) és negativa en l'interval [-1,0)
f(0) = 0
f(0,5) = negatiu --> f(x) és negativa en l'interval (0,1]

Àrea = $y gleich integral unterer Index leer oberer Index leer x hoch 4 minus x im Quadrat$

$A unterer Index 1 gleich integral unterer Index minus 1 Ende unterer Index oberer Index 0 Klammer öffnen x hoch 4 minus x im Quadrat Klammer schließen Leerzeichen d x Leerzeichen Leerzeichen gleich eckige Klammern öffnen x hoch 5 geteilt durch 5 minus x hoch drei geteilt durch 3 eckige Klammern schließen unterer Index minus 1 Ende unterer Index oberer Index 0 gleich eckige Klammern öffnen 0 hoch 5 geteilt durch 5 minus 0 hoch drei geteilt durch 3 eckige Klammern schließen minus eckige Klammern öffnen linke klammer minus 1 rechte klammer hoch 5 geteilt durch 5 minus linke klammer minus 1 rechte klammer hoch drei geteilt durch 3 eckige Klammern schließen gleich Zähler minus 2 geteilt durch Nenner 15 Bruchergebnis$

Com és una àrea cal prendre el resultat en valor absolut. Per tant $A unterer Index 1 gleich 2 geteilt durch 15$

$A unterer Index 2 gleich integral unterer Index 0 oberer Index 1 Klammer öffnen x hoch 4 minus x im Quadrat Klammer schließen Leerzeichen d x Leerzeichen Leerzeichen gleich eckige Klammern öffnen x hoch 5 geteilt durch 5 minus x hoch drei geteilt durch 3 eckige Klammern schließen unterer Index 0 oberer Index 1 gleich eckige Klammern öffnen linke klammer 1 rechte klammer hoch 5 geteilt durch 5 minus linke klammer 1 rechte klammer hoch drei geteilt durch 3 eckige Klammern schließen minus eckige Klammern öffnen 0 hoch 5 geteilt durch 5 minus 0 hoch drei geteilt durch 3 eckige Klammern schließen gleich Zähler minus 2 geteilt durch Nenner 15 Bruchergebnis$

Com és una àrea cal prendre el resultat en valor absolut. Per tant

A unterer Index 2 gleich 2 geteilt durch 15

Leerzeichen À r e a Leerzeichen t o t a l Leerzeichen gleich öffnen senkrechter Strich A unterer Index 1 schließen senkrechter Strich plus öffnen senkrechter Strich A unterer Index 2 schließen senkrechter Strich gleich Leerzeichen 2 geteilt durch 15 plus 2 geteilt durch 15 gleich Leerzeichen Feld eingeschlossen 4 geteilt durch 15 Leerzeichen u hoch 2 Leerzeichen Leerzeichen Endexponent Ende

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

Exemple 2. Àrea sota una corba