Conceptes bàsics Anàlisis II: Exemple 2. Àrea sota una corba

Exercici:

Calculeu l'àrea del recinte entre la corba $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x elevat a 4 menys x al quadrat$ i l'eix d'abscisses (eix OX)

Resolució:

Per trobar una àrea compresa entre la gràfica d'una funció f(x), i l'eix d'abscisses , cal seguir els passos

1. Trobar els punts de tall de la gràfica de la funció amb l'eix d'abscisses resolent l'equació f(x)=0

2. Suposem que els punts de tall corresponen a x₁, x₂ , x₃ i x₄

3. Els intervals on treballarem seran: [x₁, x₂], [x₂, x₃], [x₃, x₄]

4. Per a cada interval trobat hem d'esbrinar si la gràfica de la funció queda per sobre l'eix OX o per sota

5. En funció de si l'àrea obtinguda queda per sobre o per sota caldrà agafar la integral definida o canviar-li el signe.

Anem a trobar l'àrea compresa entre la gràfica de la funció $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x elevat a 4 menys x al quadrat$ , i l'eix d'abscisses.

1. $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 0 espai fletxa dreta x elevat a 4 menys x al quadrat igual 0 espai espai fletxa dreta envoltori caixa x igual menys 1 fi envoltori coma espai envoltori caixa x igual 1 fi envoltori espai i espai envoltori caixa x igual 0 fi envoltori$

2. Els 2 intervals, en els que treballarem són: [-1,0], [0,1] i per tant tindrem 2 àrees també: $A subíndex 1 coma espai A subíndex 2 espai$

3. Per a cada interval trobat hem d'esbrinar si la gràfica de la funció queda per sobre l'eix OX o per sota. Per això busquem la imatge d'un valor de cada interval:

f(-0,5) = negatiu --> f(x) és negativa en l'interval [-1,0)
f(0) = 0
f(0,5) = negatiu --> f(x) és negativa en l'interval (0,1]

Àrea = $y igual integral subíndex blanc superíndex blanc x elevat a 4 menys x al quadrat$

$A subíndex 1 igual integral subíndex menys 1 fi subíndex superíndex 0 obre parèntesis x elevat a 4 menys x al quadrat tanca parèntesis espai d x espai espai igual obre claudàtors fracció x elevat a 5 entre 5 menys fracció x al cub entre 3 tanca claudàtors subíndex menys 1 fi subíndex superíndex 0 igual obre claudàtors fracció 0 elevat a 5 entre 5 menys fracció 0 al cub entre 3 tanca claudàtors menys obre claudàtors fracció parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret elevat a 5 entre 5 menys fracció parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret al cub entre 3 tanca claudàtors igual fracció numerador menys 2 entre denominador 15 fi fracció$

Com és una àrea cal prendre el resultat en valor absolut. Per tant $A subíndex 1 igual fracció 2 entre 15$

$A subíndex 2 igual integral subíndex 0 superíndex 1 obre parèntesis x elevat a 4 menys x al quadrat tanca parèntesis espai d x espai espai igual obre claudàtors fracció x elevat a 5 entre 5 menys fracció x al cub entre 3 tanca claudàtors subíndex 0 superíndex 1 igual obre claudàtors fracció parèntesi esquerre 1 parèntesi dret elevat a 5 entre 5 menys fracció parèntesi esquerre 1 parèntesi dret al cub entre 3 tanca claudàtors menys obre claudàtors fracció 0 elevat a 5 entre 5 menys fracció 0 al cub entre 3 tanca claudàtors igual fracció numerador menys 2 entre denominador 15 fi fracció$

Com és una àrea cal prendre el resultat en valor absolut. Per tant

A subíndex 2 igual fracció 2 entre 15

espai À r e a espai t o t a l espai igual obre barra vertical A subíndex 1 tanca barra vertical més obre barra vertical A subíndex 2 tanca barra vertical igual espai fracció 2 entre 15 més fracció 2 entre 15 igual espai envoltori caixa fracció 4 entre 15 espai u elevat a 2 espai espai fi elevat fi envoltori

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

Exemple 2. Àrea sota una corba