Conceptes bàsics Anàlisis II: Càlcul d'integrals definides

Com es calcula una integral definida?

Si f(x) és contínua en [a,b] i G(x) és una primitiva seva, aleshores:

$integral subíndex a superíndex b f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x espai igual G parèntesi esquerre b parèntesi dret menys G parèntesi esquerre a parèntesi dret$

Exemple 1:

$integral subíndex menys 1 fi subíndex superíndex 2 x al quadrat menys 4 espai d x igual obre claudàtors fracció x al cub entre 3 menys 4 x tanca claudàtors subíndex menys 1 fi subíndex superíndex 2 igual fracció 8 entre 3 menys 8 menys obre parèntesis menys 1 terç menys 4 parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret tanca parèntesis igual fracció 8 entre 3 menys 8 més 1 terç menys 4 igual espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fracció 8 entre 3 més 1 terç menys 12 igual fracció 9 entre 3 menys 12 espai igual 3 menys 12 igual espai envoltori caixa menys 9 fi envoltori$

Exemple 2:

$integral subíndex menys 1 fi subíndex superíndex 0 x e elevat a x al quadrat menys 3 fi elevat espai d x$

Primer busquem una primitiva de la funció.

Observem que $parèntesi esquerre e elevat a x al quadrat menys 3 fi elevat parèntesi dret apòstrof igual e elevat a x al quadrat menys 3 fi elevat per 2 x igual espai 2 x e elevat a x al quadrat menys 3 fi elevat$ i per tant és una integral immediata

$integral x e elevat a x al quadrat menys 3 fi elevat espai d x igual integral fracció 2 entre 2 per x e elevat a x al quadrat menys 3 fi elevat espai d x igual 1 mig per integral 2 x e elevat a x al quadrat menys 3 fi elevat espai d x igual 1 mig e elevat a x al quadrat menys 3 fi elevat més C$

Ara ja podem resoldre la integral definida

$integral subíndex menys 1 fi subíndex superíndex 0 x e elevat a x al quadrat menys 3 fi elevat espai d x igual obre claudàtors 1 mig e elevat a x al quadrat menys 3 fi elevat tanca claudàtors subíndex menys 1 fi subíndex superíndex 0 igual 1 mig e elevat a menys 3 fi elevat menys 1 mig e elevat a menys 2 fi elevat igual espai espai espai 1 mig obre parèntesis fracció 1 entre e al cub menys fracció 1 entre e al quadrat tanca parèntesis igual espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 1 mig obre parèntesis fracció 1 entre e al cub menys fracció e entre e al cub tanca parèntesis espai igual espai espai envoltori caixa espai fracció numerador 1 menys e entre denominador 2 e al cub fi fracció espai fi envoltori$

Exemple 3:

$integral subíndex menys 1 fi subíndex superíndex 2 espai fracció numerador x entre denominador 3 x al quadrat més 5 fi fracció espai d x$

Primer busquem una primitiva de la funció.

Observem que $obre parèntesis ln parèntesi esquerre 3 x al quadrat més 5 parèntesi dret tanca parèntesis apòstrof igual fracció numerador 1 entre denominador 3 x al quadrat més 5 fi fracció per 6 x igual fracció numerador 6 x entre denominador 3 x al quadrat més 5 fi fracció$ i per tant és una integral immediata

$integral fracció numerador x entre denominador 3 x al quadrat més 5 fi fracció espai d x igual integral fracció 6 entre 6 per fracció numerador x entre denominador 3 x al quadrat més 5 fi fracció espai d x igual fracció 1 entre 6 per integral fracció numerador 6 x entre denominador 3 x al quadrat més 5 fi fracció espai d x igual fracció 1 entre 6 per ln parèntesi esquerre 3 x al quadrat més 5 parèntesi dret espai més C$

Ara ja podem resoldre la integral definida

$integral subíndex menys 1 fi subíndex superíndex 2 espai fracció numerador x entre denominador 3 x al quadrat més 5 fi fracció espai d x espai igual espai obre claudàtors fracció 1 entre 6 ln parèntesi esquerre 3 x al quadrat més 5 parèntesi dret tanca claudàtors subíndex menys 1 fi subíndex superíndex 2 espai igual fracció 1 entre 6 ln parèntesi esquerre 17 parèntesi dret espai menys fracció 1 entre 6 ln parèntesi esquerre 8 parèntesi dret igual fracció 1 entre 6 obre parèntesis ln parèntesi esquerre 17 parèntesi dret espai menys ln parèntesi esquerre 8 parèntesi dret tanca parèntesis espai igual espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fracció 1 entre 6 ln obre parèntesis fracció 17 entre 8 tanca parèntesis igual envoltori caixa espai ln espai arrel amb índex 6 de fracció 17 entre 8 fi arrel espai fi envoltori$

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

Càlcul d'integrals definides