Conceptes bàsics Anàlisis II: Integrals on hi ha un logaritme

Si quan busquem la primitiva d'una funció en aquesta hi ha un In x (logaritme neperià de x) aquest té alguna integral indefinida immediata? Com es resol?

No hi ha un mètode directe. Depèn de la integral si és quasi immediata o si es fa per canvi de variable, o per parts o altres mètodes que no estudiareu en aquest curs.

Abans heu vist un exemple que contenia un logaritme i que s'ha resolt per parts. Ara us mostrem un exemple on aplicarem canvi de variable i integral quasi-immediata.

Exemple:

$integral fracció numerador ln al quadrat parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret entre denominador 2 x més 1 fi fracció d x$

Com a integral quasi-immediata:

Fixeu-vos que si s'arregla l'expressió de la funció a integrar s'adequa a aplicar que $integral obre claudàtors f parèntesi esquerre x parèntesi dret tanca claudàtors elevat a n per f espai apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x espai igual espai fi fracció numerador obre claudàtors f parèntesi esquerre x parèntesi dret tanca claudàtors elevat a n més 1 fi elevat entre denominador n més 1 fi fracció més k$

Hem inserit un 2 que necessitava ja que $obre parèntesis ln parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret tanca parèntesis elevat a espai negreta apòstrof fi elevat igual fracció numerador 1 entre denominador 2 x més 1 fi fracció per 2 igual fracció numerador 2 entre denominador 2 x més 1 fi fracció$ .

De fet s'ha multiplicat per 1 =2/2 I PER TANT queda igual .

Ara ja podem finalitzar la integral

$integral fracció numerador ln al quadrat parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret entre denominador 2 x més 1 fi fracció d x igual integral fracció negreta 2 entre negreta 2 per obre claudàtors ln parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret espai tanca claudàtors al quadrat per fracció numerador 1 entre denominador 2 x més 1 fi fracció d x igual fracció 1 entre negreta 2 integral obre claudàtors ln parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret espai tanca claudàtors al quadrat per fracció numerador 2 entre denominador 2 x més 1 fi fracció d x igual 1 mig per fracció obre claudàtors ln parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret espai tanca claudàtors al cub entre 3 més K igual envoltori caixa espai fracció obre claudàtors ln parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret espai tanca claudàtors al cub entre 6 més K fi envoltori espai$

Per canvi de variable:

$integral fracció numerador ln al quadrat parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret entre denominador 2 x més 1 fi fracció d x igual integral fracció numerador t al quadrat entre denominador ratllat diagonal cap amunt parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret fi ratllat fi fracció per fracció numerador ratllat diagonal cap amunt parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret fi ratllat entre denominador 2 fi fracció per d t igual integral 1 mig t al quadrat espai d t igual 1 mig per fracció t al cub entre 3 més K igual fracció 1 entre 6 t al cub més K igual envoltori caixa espai fracció 1 entre 6 obre claudàtors ln parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret tanca claudàtors al cub més K espai fi envoltori obre claus taula fila cel·la t igual ln parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret fi cel·la fila cel·la d t igual fracció numerador 2 entre denominador 2 x més 1 fi fracció per d x fletxa dreta d x igual fracció numerador 2 x més 1 entre denominador 2 fi fracció per d t fi cel·la fi taula tanca claus$

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

Integrals on hi ha un logaritme