Anterior
Següent

Mètode integració per parts


Mètode d'integració per parts

És un mètode molt útil en la integració de funcions que són el producte (multiplicació) d'altres funcions. Consisteix en separar la funció a integrar en dues parts. Una part s'anomenarà u i l'altra dv. I s'aplicarà la següent fórmula:

    envoltori caixa integral u espai per espai d v espai igual espai u per v espai menys espai integral v espai per d u fi envoltori


El càlcul de la integral d'una funció formada pel producte (multiplicació) de dues funcions no es pot fer integrant cada una de les funcions per separat. Això és degut a que la derivada del producte de dues funcions no és la derivada de cada una de les funcions.
Una forma d'integrar el producte de dues funcions és usar el mètode d'integració per parts.

Mètode


Encara que és un mètode simple cal aplicar-lo correctament. Observeu que després d'aplicar el mètode d'integració per parts, cal resoldre una segona integral, que necessàriament ha de ser més fàcil que la primera i si no és així, és que s'han triat incorrectament les parts.

Passos a seguir:

  1. L'integrant (funció inicial) ha de ser producte (multiplicació) de dues funcions (factors).

  2. Un dels factors serà u i l'altra dv.

  3. S'ha de calcular du derivant l'expressió u

  4. S'ha de calcular v integrant dv.

  5. S'ha d'aplicar la fórmula.

  6. S'ha de resoldre la integral que queda.


integral x al quadrat espai per L n parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x

Pas 1. S'ha d'observar si la funció a integrar (integrant) és el producte de dues funcions. En aquest cas es veu que sí i que aquestes funcions són la funció Ln(x) i la funció x2.


Pas 2, 3, 4.Triar quina funció serà la que faci de u (funció a derivar) i la que faci de dv (funció a integrar)
Aquesta no és una decisió fàcil. Cal pensar que integrar és més difícil i per tant s'ha de triar pensant en quina funció és millor integrar i si en coneix la integral.
En aquest cas la funció Logaritme (Ln(x)) es pot derivar fàcilment però no és immediat trobar la serva integral. Això fa pensar que les parts han de ser:

obre claus taula fila cel·la F u n c i ó espai a espai d e r i v a r espai espai espai fletxa dreta espai espai espai u igual ln x espai fletxa dreta d u igual fracció 1 entre x espai fi cel·la fila cel·la F u n c i ó espai a espai i n t e g r a r espai espai espai fletxa dreta espai espai espai d v igual x al quadrat espai fletxa dreta v igual 1 terç x al cub fi cel·la fi taula tanca claus


Pas 5,6. Aplicar la fórmula i resoldre la integral que queda després d'aplicar la fórmula.

integral x al quadrat per ln x espai d x espai igual 1 terç x al cub per ln x menys integral fracció 1 entre x per 1 terç x al cub espai d x igual 1 terç x al cub per ln x menys integral 1 terç x al quadrat espai d x igual 1 terç x al cub per ln x menys 1 terç per fracció x al cub entre 3 més K igual espai envoltori caixa 1 terç x al cub per ln x menys fracció x al cub entre 9 més K fi envoltori obre claus taula fila cel·la u igual ln x espai fletxa dreta d u igual fracció 1 entre x fi cel·la fila cel·la d v igual x al quadrat espai fletxa dreta v igual 1 terç x al cub fi cel·la fi taula tanca claus


Anterior
Següent