Anterior
Següent

Funcions que es poden reduïr a potències

Com puc fer més fàcil el càlcul d'algunes integrals?

Hi ha funcions que abans de integrar-les és millor que fem un petit retoc en la seva expressió. Aquest és el cas d'una funció que la seva expressió es pot reduir a una sola potència o a suma o resta de potències.

Si tenim expressada la funció de la manera f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x elevat a n  sempre serà més fàcil ja que integral x elevat a n d x igual obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la fracció numerador x elevat a n més 1 fi elevat entre denominador n més 1 fi fracció espai més espai C espai espai espai espai s i espai n no igual menys 1 fi cel·la fila cel·la ln x espai més espai C espai espai espai espai espai espai espai espai espai s i espai n igual menys 1 fi cel·la fi taula tanca

Exemple 1:

Imagina que hem d'integrar la funció f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador x elevat a 5 entre denominador arrel quarta de x al cub fi arrel fi fracció.

Fixem-nos que f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador x elevat a 5 entre denominador arrel quarta de x al cub fi arrel fi fracció igual fracció x elevat a 5 entre x elevat a estil mostrar fracció 3 entre 4 fi estil fi elevat igual x elevat a 5 menys fracció 3 entre 4 fi elevat igual x elevat a fracció 17 entre 4 fi elevat

Aleshores integral fracció numerador x elevat a 5 entre denominador arrel quarta de x al cub fi arrel fi fracció espai d x igual integral espai x elevat a fracció 17 entre 4 fi elevat espai d x espai igual fracció numerador x elevat a estil mostrar fracció 17 entre 4 més 1 fi estil fi elevat entre denominador fracció 17 entre 4 més 1 fi fracció més C espai igual fracció numerador x elevat a estil mostrar fracció 21 entre 4 fi estil fi elevat entre denominador fracció 21 entre 4 fi fracció més C espai igual fracció 4 entre 21 arrel quarta de x elevat a 21 fi arrel més C

Exemple 2:

Ens demanen integral fracció 2 entre x elevat a 4 menys arrel cinquena de x al quadrat fi arrel menys 3 x al quadrat més fracció numerador 1 entre denominador arrel amb índex 6 de x fi fracció espai d x.

La manera més senzilla de fer aquesta integral és primer arreglant l'expressió de la funció abans d'integrar

fracció 2 entre x elevat a 4 menys arrel cinquena de x al quadrat fi arrel menys 3 x al quadrat més fracció numerador 1 entre denominador arrel amb índex 6 de x fi fracció igual 2 x elevat a menys 4 fi elevat menys x elevat a fracció 2 entre 5 fi elevat menys 3 x al quadrat més x elevat a menys fracció 1 entre 6 fi elevat

Ara resolem ja la integral

integral fracció 2 entre x elevat a 4 menys arrel cinquena de x al quadrat fi arrel menys 3 x al quadrat més fracció numerador 1 entre denominador arrel amb índex 6 de x fi fracció espai d x espai igual integral 2 x elevat a menys 4 fi elevat menys x elevat a fracció 2 entre 5 fi elevat menys 3 x al quadrat més x elevat a menys fracció 1 entre 6 fi elevat espai d x igual 2 per fracció numerador x elevat a menys 4 més 1 fi elevat entre denominador menys 4 més 1 fi fracció menys fracció numerador x elevat a estil mostrar fracció 2 entre 5 fi estil més 1 fi elevat entre denominador fracció 2 entre 5 més 1 fi fracció menys ratllat diagonal cap amunt 3 per fracció numerador x al cub entre denominador ratllat diagonal cap amunt 3 fi fracció més fracció x elevat a menys estil mostrar fracció 1 entre 6 fi estil més 1 fi elevat entre blanc elevat a menys fracció 1 entre 6 més 1 fi elevat més C igual espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai igual menys fracció 2 entre 3 x elevat a menys 3 fi elevat menys fracció numerador x elevat a estil mostrar fracció 7 entre 5 fi estil fi elevat entre denominador fracció 7 entre 5 fi fracció menys x al cub més fracció x elevat a estil mostrar fracció 5 entre 6 fi estil fi elevat entre blanc elevat a fracció 5 entre 6 fi elevat més C igual menys fracció numerador 2 entre denominador 3 x al cub fi fracció menys fracció 5 entre 7 arrel cinquena de x elevat a 7 fi arrel menys x al cub més fracció 6 entre 5 arrel amb índex 6 de x elevat a 5 fi arrel espai espai més C

Exemple 3:

També podem utilitzar aquesta tècnica per integrar funcions racionals quan el denominador estigui format per un sols monomi

És per exemple el cas de la funció  g parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador 2 x elevat a 4 menys 4 x més 1 entre denominador x al quadrat fi fracció.

Primer separem l'expressió en tants trossos com termes te el numerador i després reduïm cada tros a una potència

g parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador 2 x elevat a 4 menys 4 x més 1 entre denominador x al quadrat fi fracció igual fracció numerador 2 x elevat a 4 entre denominador x al quadrat fi fracció menys fracció numerador 4 x entre denominador x al quadrat fi fracció més fracció 1 entre x al quadrat igual 2 x al quadrat menys 4 x elevat a menys 1 fi elevat més x elevat a menys 2 fi elevat

Ara resolem ja la integral

integral espai fracció numerador 2 x elevat a 4 menys 4 x més 1 entre denominador x al quadrat fi fracció espai d x igual integral 2 x al quadrat menys 4 x elevat a menys 1 fi elevat més x elevat a menys 2 fi elevat espai d x espai igual 2 per fracció x al cub entre 3 menys 4 per ln x més fracció numerador x elevat a menys 1 fi elevat entre denominador menys 1 fi fracció més C espai igual fracció 2 entre 3 x al cub menys 4 ln x menys fracció 1 entre x més C

Anterior
Següent