Anterior
Següent

Integral indefinida. Primitives


Integral indefinida. Primitiva. Diferències entre els dos conceptes.

La primitiva d'una funció és una única. La integral indefinida són moltes.

  • Una funció F(x) és una primitiva d'una funció f(x) quan F '(x)=f(x)
  • Integral indefinida d'una funció f(x) és el conjunt de totes les primitives de f(x)


Per exemple les funcions G parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x al quadrat més 1 coma espai espai H parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x al quadrat coma espai espai J parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x al quadrat més fracció 2 entre 3 espai espai i espai espai K parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x al quadrat menys arrel quadrada de 2  són primitives de la funció f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 2 x ja que al derivar-les ens dona  f(x):

obre parèntesis x al quadrat més 1 tanca parèntesis elevat a apòstrof igual 2 x obre parèntesis x al quadrat tanca parèntesis elevat a apòstrof igual 2 x obre parèntesis x al quadrat més fracció 2 entre 3 tanca parèntesis elevat a apòstrof igual 2 x obre parèntesis x al quadrat menys arrel quadrada de 2 espai tanca parèntesis elevat a apòstrof igual 2 x

Però hi ha moltíssimes més funcions que són primitives de f(x). Qualsevol funció que sigui del tipus F parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x al quadrat més C   on C pot ser qualsevol nombre real  parèntesi esquerre C pertany normal nombres reals parèntesi dret serà una primitiva.

Al conjunt de totes les primitives de la funció f(x) l'anomenem integral indefinida i es representa integral f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai d x

Per tant el conjunt de totes les primitives de la funció f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 2 x bé representat per la integral definida integral 2 x espai d x


En aquest exemple us mostrarem la diferència entre trobar una primitiva d'una funció i trobar la integral indefinida de la funció.

Trobeu la integral indefinida de la funció f(x)

Trobeu la primitiva de la funció f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x al quadrat més 7 x menys 5 que passi pel punt A=(-1,6)

Per trobar tant la integral indefinida com una primitiva cal fer:

integral f parèntesi esquerre x parèntesi dret per d x igual integral parèntesi esquerre x al quadrat més 7 x menys 5 parèntesi dret per espai d x espai igual envoltori caixa fracció x al cub entre 3 més 7 per fracció x al quadrat entre 2 menys 5 x més K fi envoltori igual G parèntesi esquerre x parèntesi dret S apòstrof h a espai a p l i c a t espai l a espai r e g l a espai d e espai d e r i v a c i ó espai d e espai l e s espai p o t è n c i e s obre claus taula fila cel·la integral x elevat a n per d x igual fracció numerador x elevat a n més 1 fi elevat entre denominador n més 1 fi fracció espai més K fi cel·la fila blank fi taula tanca claus

Fins aquí s'ha trobat la integral indefinida de la funció f(x), ja que hem trobat totes les funcions G(x) que en derivar-les dona f(x)

Ara es buscarà l'única primitiva que passa pel punt A=(-1,6)

G(x) ha de passar per A=(-1,6) per tant G(-1)=6

G parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret igual fracció numerador parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret al cub entre denominador 3 fi fracció més fracció numerador 7 per parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret al quadrat entre denominador 2 fi fracció menys 5 per parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret més K igual 6 fracció numerador menys 1 entre denominador 3 fi fracció més fracció 7 entre 2 més 5 més K igual 6 fletxa doble dreta K igual 6 més 1 terç menys fracció 7 entre 2 menys 5 fletxa doble dreta K igual menys fracció 13 entre 6 envoltori caixa G parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció x al cub entre 3 més fracció numerador 7 x al quadrat entre denominador 2 fi fracció menys 5 x menys fracció 13 entre 6 fi envoltori


Conclusió:

La integral indefinida de la funció f(x) és: envoltori caixa G parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció x al cub entre 3 més fracció numerador 7 x al quadrat entre denominador 2 fi fracció menys 5 x més K fi envoltori

La primitiva de la funció f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x al quadrat més 7 x menys 5 que passa pel punt A=(-1,6) és:  envoltori caixa G parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció x al cub entre 3 més fracció numerador 7 x al quadrat entre denominador 2 fi fracció menys 5 x menys fracció 13 entre 6 fi envoltori


 






Anterior
Següent