Previous

MÈTRICA A L'ESPAI

Distància entre diferents elements de l'espai

Distància entre dos punts A i B

Punts A equals left parenthesis a subscript 1 comma a subscript 2 comma a subscript 3 right parenthesis i B equals left parenthesis b subscript 1 comma b subscript 2 comma b subscript 3 right parenthesis

bold italic d bold left parenthesis bold italic A bold comma bold italic B bold right parenthesis bold equals square root of bold left parenthesis bold b subscript bold 1 bold minus bold a subscript bold 1 bold right parenthesis to the power of bold 2 bold plus bold left parenthesis bold b subscript bold 2 bold minus bold a subscript bold 2 bold right parenthesis to the power of bold 2 bold plus bold left parenthesis bold b subscript bold 3 bold minus bold a subscript bold 3 bold right parenthesis to the power of bold 2 end root

Distància d'un punt P a una recta r

Q punt qualsevol de la recta

v with rightwards arrow on top vector director de la recta r

bold italic d bold left parenthesis bold italic p bold comma bold italic r bold right parenthesis bold equals fraction numerator open vertical bar stack bold Q bold P with bold rightwards arrow on top bold cross times bold v with bold rightwards arrow on top close vertical bar over denominator open vertical bar bold v with bold rightwards arrow on top close vertical bar end fraction

Distància d'un punt P a un pla bold pi

P equals left parenthesis p subscript 1 comma p subscript 2 comma p subscript 3 right parenthesis straight pi colon space Ax plus By plus Cz plus straight D equals 0

bold italic d bold left parenthesis bold pi bold comma bold italic r bold right parenthesis bold equals fraction numerator open vertical bar bold A bold p subscript bold 1 bold plus bold B bold p subscript bold 2 bold plus bold C bold p subscript bold 3 bold plus bold D close vertical bar over denominator square root of bold A to the power of bold 2 bold plus bold B to the power of bold 2 bold plus bold C to the power of bold 2 end root end fraction

Distància entre dues rectes r i s

a) Rectes coincidents o secants.

bold italic d bold left parenthesis bold italic r bold comma bold italic s bold right parenthesis bold equals bold 0

b) Rectes paral·leles

Es calcula la distància d'un punt qualsevol d'una recta a l'altra recta.

Sigui P punt qualsevol de la recta r

bold italic d bold left parenthesis bold italic r bold comma bold italic s bold right parenthesis bold equals bold italic d bold left parenthesis bold italic P bold comma bold italic s bold right parenthesis

c) Rectes que es creuen

P punt de r

Q punt de s

bold italic d bold left parenthesis bold italic r bold comma bold italic s bold right parenthesis bold equals fraction numerator open vertical bar open square brackets stack bold P bold Q with bold rightwards arrow on top bold comma bold u with bold rightwards arrow on top bold comma bold v with bold rightwards arrow on top close square brackets close vertical bar over denominator open vertical bar bold u with bold rightwards arrow on top bold cross times bold v with bold rightwards arrow on top close vertical bar end fraction

(on open square brackets stack bold P bold Q with bold rightwards arrow on top bold comma bold u with bold rightwards arrow on top bold comma bold v with bold rightwards arrow on top close square brackets indica el producte mixte)

Distància entre dos plans bold pi bold space bold i bold space bold space bold pi bold apostrophe

a) Plans coincidents o secants.

bold italic d bold left parenthesis bold pi bold comma bold pi bold apostrophe bold right parenthesis bold equals bold 0

b) Plans paral·lels

Es calcula la distància d'un punt qualsevol d'un pla a l'altre pla.

Sigui P punt qualsevol del pla straight pi apostrophe

bold italic d bold left parenthesis bold pi bold comma bold pi bold apostrophe bold right parenthesis bold equals bold italic d bold left parenthesis bold italic P bold comma bold pi bold apostrophe bold right parenthesis

O bé:

Donats dos plans paral·lels:

straight pi colon space space space Ax plus By plus Cz plus straight D equals 0 straight pi apostrophe colon space Ax plus By plus Cz plus straight D apostrophe equals 0

Llavors:

bold italic d bold left parenthesis bold pi bold comma bold pi bold apostrophe bold right parenthesis bold equals fraction numerator open vertical bar bold D bold minus bold D bold apostrophe close vertical bar over denominator square root of bold A to the power of bold 2 bold plus bold B to the power of bold 2 bold plus bold C to the power of bold 2 end root end fraction

Atenció: fixeu-vos que per poder aplicar aquesta fòrmula, els dos plans han d’estar donats amb
els mateixos coeficients de x, y, z. Això sempre serà possible si els plans són paral·lels.

Per exemple, els plans

straight pi colon space space space straight x minus 2 straight y plus straight z plus 2 equals 0 straight pi apostrophe colon space 3 straight x minus 6 straight y plus 3 straight z plus 5 equals 0

són paral·lels, d'acord?

llavors si l'equació del pla straight pi apostrophe la dividim tota entre 3, ens queda:

straight pi apostrophe colon space space x minus 2 y plus z plus 5 over 3 equals 0

Distància entre recta r i pla Π

a) Recta continguda en pla o recta i pla secants

bold italic d bold left parenthesis bold italic r bold comma bold pi bold right parenthesis bold equals bold 0

b) Recta paral·lela al pla

Es calcula la distància d'un punt qualsevol de la recta al pla.

P punt qualsevol de la recta r

bold italic d bold left parenthesis bold italic r bold comma bold pi bold right parenthesis bold equals bold italic d bold left parenthesis bold italic P bold comma bold pi bold right parenthesis

Previous