Zurück

MÈTRICA A L'ESPAI

Distància entre diferents elements de l'espai

Distància entre dos punts A i B

Punts A gleich linke klammer a unterer Index 1 Komma a unterer Index 2 Komma a unterer Index 3 rechte klammer i B gleich linke klammer b unterer Index 1 Komma b unterer Index 2 Komma b unterer Index 3 rechte klammer

bold italic d fett linke klammer bold italic A fett Komma bold italic B fett rechte klammer fett gleich Quadratwurzel aus fett linke klammer fett b unterer Index fett 1 fett minus fett a unterer Index fett 1 fett rechte klammer hoch fett 2 fett plus fett linke klammer fett b unterer Index fett 2 fett minus fett a unterer Index fett 2 fett rechte klammer hoch fett 2 fett plus fett linke klammer fett b unterer Index fett 3 fett minus fett a unterer Index fett 3 fett rechte klammer hoch fett 2 Wurzelende

Distància d'un punt P a una recta r

Q punt qualsevol de la recta

v mit rechtspfeil darüber vector director de la recta r

bold italic d fett linke klammer bold italic p fett Komma bold italic r fett rechte klammer fett gleich Zähler öffnen senkrechter Strich Stapel fett Q fett P mit fett rechtspfeil darüber fett multipliziert mit fett v mit fett rechtspfeil darüber schließen senkrechter Strich geteilt durch Nenner öffnen senkrechter Strich fett v mit fett rechtspfeil darüber schließen senkrechter Strich Bruchergebnis

Distància d'un punt P a un pla fett pi

P gleich linke klammer p unterer Index 1 Komma p unterer Index 2 Komma p unterer Index 3 rechte klammer gerade pi Doppelpunkt Leerzeichen Ax plus By plus Cz plus gerade D gleich 0

bold italic d fett linke klammer fett pi fett Komma bold italic r fett rechte klammer fett gleich Zähler öffnen senkrechter Strich fett A fett p unterer Index fett 1 fett plus fett B fett p unterer Index fett 2 fett plus fett C fett p unterer Index fett 3 fett plus fett D schließen senkrechter Strich geteilt durch Nenner Quadratwurzel aus fett A hoch fett 2 fett plus fett B hoch fett 2 fett plus fett C hoch fett 2 Wurzelende Bruchergebnis

Distància entre dues rectes r i s

a) Rectes coincidents o secants.

bold italic d fett linke klammer bold italic r fett Komma bold italic s fett rechte klammer fett gleich fett 0

b) Rectes paral·leles

Es calcula la distància d'un punt qualsevol d'una recta a l'altra recta.

Sigui P punt qualsevol de la recta r

bold italic d fett linke klammer bold italic r fett Komma bold italic s fett rechte klammer fett gleich bold italic d fett linke klammer bold italic P fett Komma bold italic s fett rechte klammer

c) Rectes que es creuen

P punt de r

Q punt de s

bold italic d fett linke klammer bold italic r fett Komma bold italic s fett rechte klammer fett gleich Zähler öffnen senkrechter Strich eckige Klammern öffnen Stapel fett P fett Q mit fett rechtspfeil darüber fett Komma fett u mit fett rechtspfeil darüber fett Komma fett v mit fett rechtspfeil darüber eckige Klammern schließen schließen senkrechter Strich geteilt durch Nenner öffnen senkrechter Strich fett u mit fett rechtspfeil darüber fett multipliziert mit fett v mit fett rechtspfeil darüber schließen senkrechter Strich Bruchergebnis

(on eckige Klammern öffnen Stapel fett P fett Q mit fett rechtspfeil darüber fett Komma fett u mit fett rechtspfeil darüber fett Komma fett v mit fett rechtspfeil darüber eckige Klammern schließen indica el producte mixte)

Distància entre dos plans fett pi fett Leerzeichen fett i fett Leerzeichen fett Leerzeichen fett pi fett apostroph

a) Plans coincidents o secants.

bold italic d fett linke klammer fett pi fett Komma fett pi fett apostroph fett rechte klammer fett gleich fett 0

b) Plans paral·lels

Es calcula la distància d'un punt qualsevol d'un pla a l'altre pla.

Sigui P punt qualsevol del pla gerade pi apostroph

bold italic d fett linke klammer fett pi fett Komma fett pi fett apostroph fett rechte klammer fett gleich bold italic d fett linke klammer bold italic P fett Komma fett pi fett apostroph fett rechte klammer

O bé:

Donats dos plans paral·lels:

gerade pi Doppelpunkt Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Ax plus By plus Cz plus gerade D gleich 0 gerade pi apostroph Doppelpunkt Leerzeichen Ax plus By plus Cz plus gerade D apostroph gleich 0

Llavors:

bold italic d fett linke klammer fett pi fett Komma fett pi fett apostroph fett rechte klammer fett gleich Zähler öffnen senkrechter Strich fett D fett minus fett D fett apostroph schließen senkrechter Strich geteilt durch Nenner Quadratwurzel aus fett A hoch fett 2 fett plus fett B hoch fett 2 fett plus fett C hoch fett 2 Wurzelende Bruchergebnis

Atenció: fixeu-vos que per poder aplicar aquesta fòrmula, els dos plans han d’estar donats amb
els mateixos coeficients de x, y, z. Això sempre serà possible si els plans són paral·lels.

Per exemple, els plans

gerade pi Doppelpunkt Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen gerade x minus 2 gerade y plus gerade z plus 2 gleich 0 gerade pi apostroph Doppelpunkt Leerzeichen 3 gerade x minus 6 gerade y plus 3 gerade z plus 5 gleich 0

són paral·lels, d'acord?

llavors si l'equació del pla gerade pi apostroph la dividim tota entre 3, ens queda:

gerade pi apostroph Doppelpunkt Leerzeichen Leerzeichen x minus 2 y plus z plus 5 geteilt durch 3 gleich 0

Distància entre recta r i pla Π

a) Recta continguda en pla o recta i pla secants

bold italic d fett linke klammer bold italic r fett Komma fett pi fett rechte klammer fett gleich fett 0

b) Recta paral·lela al pla

Es calcula la distància d'un punt qualsevol de la recta al pla.

P punt qualsevol de la recta r

bold italic d fett linke klammer bold italic r fett Komma fett pi fett rechte klammer fett gleich bold italic d fett linke klammer bold italic P fett Komma fett pi fett rechte klammer

Zurück