Dubtes freqüents sobre geometria: Distància entre diferents elements de l'espai

MÈTRICA A L'ESPAI

Distància entre diferents elements de l'espai

Distància entre dos punts A i B

Punts $A igual parèntesi esquerre a subíndex 1 coma a subíndex 2 coma a subíndex 3 parèntesi dret$ i $B igual parèntesi esquerre b subíndex 1 coma b subíndex 2 coma b subíndex 3 parèntesi dret$

$bold italic d negreta parèntesi esquerre bold italic A negreta coma bold italic B negreta parèntesi dret negreta igual arrel quadrada de negreta parèntesi esquerre negreta b subíndex negreta 1 negreta menys negreta a subíndex negreta 1 negreta parèntesi dret elevat a negreta 2 negreta més negreta parèntesi esquerre negreta b subíndex negreta 2 negreta menys negreta a subíndex negreta 2 negreta parèntesi dret elevat a negreta 2 negreta més negreta parèntesi esquerre negreta b subíndex negreta 3 negreta menys negreta a subíndex negreta 3 negreta parèntesi dret elevat a negreta 2 fi arrel$

Distància d'un punt P a una recta r

Q punt qualsevol de la recta

$v amb fletxa dreta a sobre$ vector director de la recta r

$bold italic d negreta parèntesi esquerre bold italic p negreta coma bold italic r negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador obre barra vertical pila negreta Q negreta P amb negreta fletxa dreta a sobre negreta multiplicació en creu negreta v amb negreta fletxa dreta a sobre tanca barra vertical entre denominador obre barra vertical negreta v amb negreta fletxa dreta a sobre tanca barra vertical fi fracció$

Distància d'un punt P a un pla $negreta pi$

$P igual parèntesi esquerre p subíndex 1 coma p subíndex 2 coma p subíndex 3 parèntesi dret normal pi dos punts espai Ax més By més Cz més normal D igual 0$

$bold italic d negreta parèntesi esquerre negreta pi negreta coma bold italic r negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador obre barra vertical negreta A negreta p subíndex negreta 1 negreta més negreta B negreta p subíndex negreta 2 negreta més negreta C negreta p subíndex negreta 3 negreta més negreta D tanca barra vertical entre denominador arrel quadrada de negreta A elevat a negreta 2 negreta més negreta B elevat a negreta 2 negreta més negreta C elevat a negreta 2 fi arrel fi fracció$

Distància entre dues rectes r i s

a) Rectes coincidents o secants.

$bold italic d negreta parèntesi esquerre bold italic r negreta coma bold italic s negreta parèntesi dret negreta igual negreta 0$

b) Rectes paral·leles

Es calcula la distància d'un punt qualsevol d'una recta a l'altra recta.

Sigui P punt qualsevol de la recta r

$bold italic d negreta parèntesi esquerre bold italic r negreta coma bold italic s negreta parèntesi dret negreta igual bold italic d negreta parèntesi esquerre bold italic P negreta coma bold italic s negreta parèntesi dret$

c) Rectes que es creuen

P punt de r

Q punt de s

$bold italic d negreta parèntesi esquerre bold italic r negreta coma bold italic s negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador obre barra vertical obre claudàtors pila negreta P negreta Q amb negreta fletxa dreta a sobre negreta coma negreta u amb negreta fletxa dreta a sobre negreta coma negreta v amb negreta fletxa dreta a sobre tanca claudàtors tanca barra vertical entre denominador obre barra vertical negreta u amb negreta fletxa dreta a sobre negreta multiplicació en creu negreta v amb negreta fletxa dreta a sobre tanca barra vertical fi fracció$

(on $obre claudàtors pila negreta P negreta Q amb negreta fletxa dreta a sobre negreta coma negreta u amb negreta fletxa dreta a sobre negreta coma negreta v amb negreta fletxa dreta a sobre tanca claudàtors$ indica el producte mixte)

Distància entre dos plans $negreta pi negreta espai negreta i negreta espai negreta espai negreta pi negreta apòstrof$

a) Plans coincidents o secants.

$bold italic d negreta parèntesi esquerre negreta pi negreta coma negreta pi negreta apòstrof negreta parèntesi dret negreta igual negreta 0$

b) Plans paral·lels

Es calcula la distància d'un punt qualsevol d'un pla a l'altre pla.

Sigui P punt qualsevol del pla $normal pi apòstrof$

$bold italic d negreta parèntesi esquerre negreta pi negreta coma negreta pi negreta apòstrof negreta parèntesi dret negreta igual bold italic d negreta parèntesi esquerre bold italic P negreta coma negreta pi negreta apòstrof negreta parèntesi dret$

O bé:

Donats dos plans paral·lels:

$normal pi dos punts espai espai espai Ax més By més Cz més normal D igual 0 normal pi apòstrof dos punts espai Ax més By més Cz més normal D apòstrof igual 0$

Llavors:

$bold italic d negreta parèntesi esquerre negreta pi negreta coma negreta pi negreta apòstrof negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador obre barra vertical negreta D negreta menys negreta D negreta apòstrof tanca barra vertical entre denominador arrel quadrada de negreta A elevat a negreta 2 negreta més negreta B elevat a negreta 2 negreta més negreta C elevat a negreta 2 fi arrel fi fracció$

Atenció: fixeu-vos que per poder aplicar aquesta fòrmula, els dos plans han d’estar donats amb
els mateixos coeficients de x, y, z. Això sempre serà possible si els plans són paral·lels.

Per exemple, els plans

$normal pi dos punts espai espai espai normal x menys 2 normal y més normal z més 2 igual 0 normal pi apòstrof dos punts espai 3 normal x menys 6 normal y més 3 normal z més 5 igual 0$

són paral·lels, d'acord?

llavors si l'equació del pla $normal pi apòstrof$ la dividim tota entre 3, ens queda:

$normal pi apòstrof dos punts espai espai x menys 2 y més z més fracció 5 entre 3 igual 0$

Distància entre recta r i pla Π

a) Recta continguda en pla o recta i pla secants

$bold italic d negreta parèntesi esquerre bold italic r negreta coma negreta pi negreta parèntesi dret negreta igual negreta 0$

b) Recta paral·lela al pla

Es calcula la distància d'un punt qualsevol de la recta al pla.

P punt qualsevol de la recta r

$bold italic d negreta parèntesi esquerre bold italic r negreta coma negreta pi negreta parèntesi dret negreta igual bold italic d negreta parèntesi esquerre bold italic P negreta coma negreta pi negreta parèntesi dret$

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

MÈTRICA A L'ESPAI

Distància entre diferents elements de l'espai