Dubtes freqüents sobre geometria: Equacions d'un pla

GEOMETRIA AFÍ

Equacions d'un pla

Donats

vectors directors $v con flecha derecha encima igual paréntesis izquierdo u subíndice 1 coma u subíndice 2 coma u subíndice 3 coma paréntesis derecho coma espacio espacio v con flecha derecha encima igual paréntesis izquierdo v subíndice 1 coma v subíndice 2 coma v subíndice 3 coma paréntesis derecho$

Punt $A igual paréntesis izquierdo a subíndice 1 coma a subíndice 2 coma a subíndice 3 paréntesis derecho$

Equació vectorial $negrita paréntesis izquierdo bold italic x negrita coma bold italic y negrita coma bold italic z negrita paréntesis derecho negrita igual bold italic lambda negrita paréntesis izquierdo bold italic a subíndice negrita 1 negrita coma bold italic a subíndice negrita 2 negrita coma bold italic a subíndice negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita más bold italic mu negrita paréntesis izquierdo bold italic v subíndice negrita 1 negrita coma bold italic v subíndice negrita 2 negrita coma bold italic v subíndice negrita 3 negrita paréntesis derecho espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio$

Equació paramètrica $abrir tabla fila celda negrita x negrita igual negrita a subíndice negrita 1 negrita más negrita lambda negrita u subíndice negrita 1 negrita más negrita mu negrita v subíndice negrita 1 fin celda fila celda negrita y negrita igual negrita a subíndice negrita 2 negrita más negrita lambda negrita u subíndice negrita 2 negrita más negrita mu negrita v subíndice negrita 2 fin celda fila celda negrita z negrita igual negrita a subíndice negrita 3 negrita más negrita lambda negrita u subíndice negrita 3 negrita más negrita mu negrita v subíndice negrita 3 fin celda fin tabla cerrar llaves$

Equació general o implícita $negrita A negrita x negrita más negrita B negrita y negrita más negrita C negrita z negrita más negrita D negrita igual negrita 0$

Exemple 1

Equacions del pla que passa pel punt $A igual paréntesis izquierdo menos 1 coma 3 coma 1 paréntesis derecho$ i té vectors directors $u con flecha derecha encima igual paréntesis izquierdo 1 coma 3 coma menos 2 paréntesis derecho coma espacio espacio v con flecha derecha encima igual paréntesis izquierdo 2 coma menos 1 coma 5 paréntesis derecho$

Equació vectorial: $paréntesis izquierdo x coma y coma z paréntesis derecho igual paréntesis izquierdo menos 1 coma 3 coma 1 paréntesis derecho más lambda paréntesis izquierdo 1 coma 3 coma menos 2 paréntesis derecho más mu paréntesis izquierdo 2 coma menos 1 coma 5 paréntesis derecho espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio$

Equació paramètrica: $abrir tabla fila celda normal x igual menos 1 más normal lambda más 2 normal mu fin celda fila celda normal y igual 3 más 3 normal lambda menos normal mu fin celda fila celda normal z igual 1 menos 2 normal lambda más 5 normal mu fin celda fin tabla cerrar llaves$

Equació implícita

la podem obtenir fent $abrir barra vertical tabla fila celda x más 1 fin celda 1 2 fila celda y menos 3 fin celda 3 celda menos 1 fin celda fila celda z menos 1 fin celda celda menos 2 fin celda 5 fin tabla cerrar barra vertical igual 0$

$15 paréntesis izquierdo x más 1 paréntesis derecho menos 4 paréntesis izquierdo y menos 3 paréntesis derecho menos paréntesis izquierdo z menos 1 paréntesis derecho menos corchete izquierdo 6 paréntesis izquierdo z menos 1 paréntesis derecho más 2 paréntesis izquierdo x más 1 paréntesis derecho más 5 paréntesis izquierdo y menos 3 paréntesis derecho corchete derecho igual 0 15 x más 15 menos 4 y más 12 menos z más 1 menos 6 z más 6 más 2 x más 2 más 5 y menos 15 igual 0 17 x más y menos 7 z más 21 igual 0$

Exemple 2

Com trobar punts d'un pla?

Trobar un punt d'un pla és molt senzill: es donen valors qualssevol a dues variables i es calcula l'altravariable. Exemple:

Volem un punt qualsevol del pla 2x-y+3z+5=0

Agafem, per exemple

$x igual 0 coma espacio y igual 0 espacio espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio z igual menos fracción 5 entre 3 espacio espacio espacio espacio espacio punt espacio abrir paréntesis 0 coma 0 coma menos fracción 5 entre 3 cerrar paréntesis normal o espacio dos puntos espacio normal x igual 0 coma espacio normal z igual 0 espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio normal y igual menos 5 espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio punt espacio paréntesis izquierdo 0 coma menos 5 coma 0 paréntesis derecho$

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