Dubtes freqüents sobre geometria: Equacions d'un pla

GEOMETRIA AFÍ

Equacions d'un pla

Donats

vectors directors $v amb fletxa dreta a sobre igual parèntesi esquerre u subíndex 1 coma u subíndex 2 coma u subíndex 3 coma parèntesi dret coma espai espai v amb fletxa dreta a sobre igual parèntesi esquerre v subíndex 1 coma v subíndex 2 coma v subíndex 3 coma parèntesi dret$

Punt $A igual parèntesi esquerre a subíndex 1 coma a subíndex 2 coma a subíndex 3 parèntesi dret$

Equació vectorial $negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta coma bold italic y negreta coma bold italic z negreta parèntesi dret negreta igual bold italic lambda negreta parèntesi esquerre bold italic a subíndex negreta 1 negreta coma bold italic a subíndex negreta 2 negreta coma bold italic a subíndex negreta 3 negreta parèntesi dret negreta més bold italic mu negreta parèntesi esquerre bold italic v subíndex negreta 1 negreta coma bold italic v subíndex negreta 2 negreta coma bold italic v subíndex negreta 3 negreta parèntesi dret espai espai espai espai espai espai espai espai espai$

Equació paramètrica $obre taula fila cel·la negreta x negreta igual negreta a subíndex negreta 1 negreta més negreta lambda negreta u subíndex negreta 1 negreta més negreta mu negreta v subíndex negreta 1 fi cel·la fila cel·la negreta y negreta igual negreta a subíndex negreta 2 negreta més negreta lambda negreta u subíndex negreta 2 negreta més negreta mu negreta v subíndex negreta 2 fi cel·la fila cel·la negreta z negreta igual negreta a subíndex negreta 3 negreta més negreta lambda negreta u subíndex negreta 3 negreta més negreta mu negreta v subíndex negreta 3 fi cel·la fi taula tanca claus$

Equació general o implícita $negreta A negreta x negreta més negreta B negreta y negreta més negreta C negreta z negreta més negreta D negreta igual negreta 0$

Exemple 1

Equacions del pla que passa pel punt $A igual parèntesi esquerre menys 1 coma 3 coma 1 parèntesi dret$ i té vectors directors $u amb fletxa dreta a sobre igual parèntesi esquerre 1 coma 3 coma menys 2 parèntesi dret coma espai espai v amb fletxa dreta a sobre igual parèntesi esquerre 2 coma menys 1 coma 5 parèntesi dret$

Equació vectorial: $parèntesi esquerre x coma y coma z parèntesi dret igual parèntesi esquerre menys 1 coma 3 coma 1 parèntesi dret més lambda parèntesi esquerre 1 coma 3 coma menys 2 parèntesi dret més mu parèntesi esquerre 2 coma menys 1 coma 5 parèntesi dret espai espai espai espai espai espai espai espai espai$

Equació paramètrica: $obre taula fila cel·la normal x igual menys 1 més normal lambda més 2 normal mu fi cel·la fila cel·la normal y igual 3 més 3 normal lambda menys normal mu fi cel·la fila cel·la normal z igual 1 menys 2 normal lambda més 5 normal mu fi cel·la fi taula tanca claus$

Equació implícita

la podem obtenir fent $obre barra vertical taula fila cel·la x més 1 fi cel·la 1 2 fila cel·la y menys 3 fi cel·la 3 cel·la menys 1 fi cel·la fila cel·la z menys 1 fi cel·la cel·la menys 2 fi cel·la 5 fi taula tanca barra vertical igual 0$

$15 parèntesi esquerre x més 1 parèntesi dret menys 4 parèntesi esquerre y menys 3 parèntesi dret menys parèntesi esquerre z menys 1 parèntesi dret menys claudàtor esquerre 6 parèntesi esquerre z menys 1 parèntesi dret més 2 parèntesi esquerre x més 1 parèntesi dret més 5 parèntesi esquerre y menys 3 parèntesi dret claudàtor dret igual 0 15 x més 15 menys 4 y més 12 menys z més 1 menys 6 z més 6 més 2 x més 2 més 5 y menys 15 igual 0 17 x més y menys 7 z més 21 igual 0$

Exemple 2

Com trobar punts d'un pla?

Trobar un punt d'un pla és molt senzill: es donen valors qualssevol a dues variables i es calcula l'altravariable. Exemple:

Volem un punt qualsevol del pla 2x-y+3z+5=0

Agafem, per exemple

$x igual 0 coma espai y igual 0 espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai z igual menys fracció 5 entre 3 espai espai espai espai espai punt espai obre parèntesis 0 coma 0 coma menys fracció 5 entre 3 tanca parèntesis normal o espai dos punts espai normal x igual 0 coma espai normal z igual 0 espai espai espai fletxa doble dreta espai espai normal y igual menys 5 espai espai espai espai espai espai espai punt espai parèntesi esquerre 0 coma menys 5 coma 0 parèntesi dret$

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

GEOMETRIA AFÍ

Equacions d'un pla