Dubtes freqüents sobre geometria

Exercici de feix de plans.

Exemple.

Donades les rectes

Trobar el pla que conté r i és paral·lel a la recta s.

El procediment de a resolució que dóna el llibre és:

1) Considerar el feix de plans (secants) que contenen a la recta r.

2) D'aquests plans volem el que sigui paral·lel a la recta r

Aquesta condició es pot posar de diferents maneres.

a) La que fa en el llibre (aquest és l'exercici36 de la unitat 6) :

Considerar el sistema format per l'equació del pla i la recta.

Llavors, condició de paral·lelisme : recta i pla són paral·lels si el ran de la matriu de coeficients és 2 i el rang de l'ampliada és 3

b) Una condició més directe:

Condició de paral·lelisme de recta i pla:

Una recta de vector director és paral·lela a un pla de vector normal si és perpendicular a , o sigui si el producte escalar d'aquest dos vectors és 0

És a dir:

Es veu la condició en aquest petit dibuix (al vector director de la recta li ha posat )

En geometria en l'espai és molt important que us feu un petit dibuix com aquest. O que agafeu un llapis (recta) i un full (pla) ,.... i imagineu

Si ho fem amb aquesta condició.

vector normal del pla:

Vector director de la recta s:

Condició:

El pla del faig, amb és

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Quan expressem el feix de plans importa quin pla multipliquem per λ?

En la majoria de cassos no importa. En quins cassos importa?. Veiem un exemple.

Exemple:

Vull el pla que conté la recta i passa pel punt P(2,0,-1)

La solució seria justament el pla (ja que aquest pla passa pel punt P i, evidentment, conté a la recta)

En aquest cas, no podríem agafar el faig amb en el primer pla.

Veiem que passa si agafem:

O sigui,

ho podem posar a qualsevol dels dos plans excepte en el cas que justament el pla solució sigui un dels que defineixen la recta. En aquest cas s'ha de posar a l'altre pla.

És per això que moltes vegades s'usen dos paràmetres diferents, un per a cada cada pla, encara que en la majoria de cassos amb un és suficient (i queda més senzill).

Bé, és una mica subtil però espero que ho entengueu.