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GEOMETRIA AFÍ

Vector normal d'un pla

Donat el pla bold italic A bold italic x negrita más bold italic B bold italic y negrita más bold italic C bold italic z negrita más bold italic D negrita igual negrita 0

el vector normal o vector característic del pla és negrita n con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima negrita igual negrita paréntesis izquierdo bold italic A negrita coma bold italic B negrita coma bold italic C negrita paréntesis derecho.

En el llibre d'Edebé, en el tema 6 (lliurament 4) no l'utilitza. Ho utilitza i ho explica en el tema 7 (lliurament 5). Però és molt pràctic utilitzar-ho i us pot anar molt bé en molts casos per trobar fàcilment l'equació general del pla.

Aquest vector és molt important. És un vector que és perpendicular al pla. O sigui, que és perpendicular als dos vectors directors del pla.

Per tant, si sabem els vectors directors del pla, fent el producte vectorial dels plans obtenim aquest vector normal i, per tant, obtenim els coeficients del pla.

Exemple 1.

Trobeu l'equació general del pla que té vectors director normal negrita n con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita coma negrita menos negrita 1 negrita coma negrita 3 negrita paréntesis derecho i passa pel punt P(5,-1,0).

L'equació general del pla serà de la forma :

2 x menos y más 3 z más D igual 0

I si el punt (5,-1,0) ha de ser del pla, s'ha de complir:

2 por 5 menos paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho más 3 por 0 más D igual 0 espacio espacio espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio espacio 10 más 1 más D igual 0 espacio espacio espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio espacio D igual menos 11

L'equació general del pla és: negrita 2 bold italic x negrita menos bold italic y negrita más negrita 3 bold italic z negrita menos negrita 11 negrita igual negrita 0

Exemple 2.

Trobeu l'equació general del pla que té vectors directors negrita u con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita 1 negrita coma negrita 2 negrita coma negrita menos negrita 1 negrita paréntesis derecho, i negrita u con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita coma negrita 0 negrita coma negrita 1 negrita paréntesis derecho i passa pel punt P(1,-1,-1).

El seu vector normal serà negrita u con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima multiplicación en cruz negrita v con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima

Fem aquest producte vectorial:

negrita u con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima multiplicación en cruz negrita v con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima igual abrir barra vertical tabla fila i j k fila 1 2 celda menos 1 fin celda fila 2 0 1 fin tabla cerrar barra vertical igual abrir barra vertical tabla fila 2 celda menos 1 fin celda fila 0 1 fin tabla cerrar barra vertical i menos abrir barra vertical tabla fila 1 celda menos 1 fin celda fila 2 1 fin tabla cerrar barra vertical j más abrir barra vertical tabla fila 1 2 fila 2 0 fin tabla cerrar barra vertical k igual 2 i menos 3 j menos 4 k espacio espacio espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio espacio n con arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima igual paréntesis izquierdo 2 coma menos 3 coma menos 4 paréntesis derecho

Per tant, l'equació general del pla serà de la forma:

2 x menos 3 y menos 4 z más D igual 0

I trobem D per tal que passi pel punt (-1,1,-1):

2 por paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho menos 3 por 1 menos 4 por paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho más D igual 0 espacio espacio espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio menos 2 menos 3 más 4 más D igual 0 espacio espacio espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio espacio D igual 1

L'equació general del pla és: negrita 2 bold italic x negrita menos negrita 3 bold italic y negrita menos negrita 4 bold italic z negrita más negrita 1 negrita igual negrita 0

Observació: aquesta equació del pla també la podem trobar fent el determinant:

\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1} & 1 & 2\\{y - 1} & 2 & 0\\{z + 1} & { - 1} & 1\\\end{array}} \right| = 0
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